随着中国铁路事业的快速发展，横风效应对铁路列车的运行安全起着至关重要的作用^[1]。当前主要是基于车轨耦合动力学理论来计算列车在风荷载下的动力响应，再通过一系列的安全指标来确保列车的横风稳定性^[2]。Li等^[3]、郭薇薇等^[4]、刘德军^[5]对此问题展开了一系列研究。作为列车稳定性计算的重要输入，精确地模拟作用在列车上的风荷载是十分重要的。

当列车在线路上行驶时，其车体暴露在空间的湍流风场中。因此在非定常力模拟时，需要提前知道作用在移动列车上的风速时程。Cooper^[6]基于Taylor^[7]“冻结”湍流假定并考虑Von Karman谱推导了湍流风场中作用在移动点上的脉动风速谱；随后，Wu等^[8]基于Cooper的理论，通过数值方法给出了考虑Simu谱后移动点的脉动风速谱；目前关于移动点风速谱更一般的表达式已经被相关的研究者^[9-11]给出。此外，根据列车当前运动时刻对地面风场中相邻点瞬时风速进行插值也可以获取移动列车的脉动风速时程^[2-5]。

针对列车的横风稳定性问题，英国学者Baker等^[12-13]开展了大量的实车测试、风洞试验以及数值模拟来分析列车的横风气动力；意大利学者Cheli等^[14]也对铁路列车的横风气动性能进行了相关的研究。需要注意的是，以上的研究中只考虑顺风向湍流对列车的影响。Li等^[3]推导了同时考虑顺风向和竖向湍流的移动列车气动力计算公式，但忽略了由脉动分量引起的合成风偏角脉动；Yu等^[15]综合考虑了顺风向和侧向湍流对合成风偏角的影响，给出了不同横风风向角下非定常力的表达式。事实上，在空间湍流风场中行驶的列车通常会同时受到三个方向的湍流作用，因此仅仅考虑部分湍流对移动列车的影响是不全面的。

针对上述问题：本文首先介绍了两种方法来获得移动列车上的风速时程；然后基于准定常理论并考虑气动权函数的影响，推导了横风作用下移动列车非定常气动力的计算公式，该公式不仅可以同时考虑三个方向的湍流脉动，还可以考虑任意横风风向角效应；最后通过数值算例研究了横风风向角和不同湍流脉动分量对气动力的影响。

1   移动列车脉动风速时程模拟

在风场模拟时，通常不考虑湍流风在各个方向的相关性，将复杂的空间风场视为三个相互独立且垂直的一维脉动风场。如图1所示，当平均风速为U时，空间内任意一点(x₀, y₀, z₀)在笛卡尔坐标系下t时刻的风速可表示为：

式中，u(t)、v(t)、w(t)分别表示顺风向、横风向以及竖向的脉动分量。

相关研究^{[9, 11]}已经表明，作用在移动列车上的脉动风速是一个与时间和空间相关的函数，目前主要通过两种方法来获得：基于地面离散固定点的差值方法和基于Taylor“冻结”湍流假定的单移动点模拟方法。

固定点差值方法原理如图2所示，首先将列车运行的线路通过有限的固定点进行离散，再人为地模拟出各点的风速时间序列。图2中当列车由P点向P′点运动时，根据列车当前运动时刻对风场中相邻模拟点的风速进行差值便可得到移动列车所经历的脉动风速时程。模拟时，我们假定各离散点的平均风速、风速谱和标高均保持不变，且相邻离散点之间是等间距的。通过谐波叠加法，第j个离散点的顺风向脉动风速时程u_j(t)可表示为：

式中：S_u(ω)为顺风向的脉动风速谱；G(ω)为不同模拟点间的相关系数矩阵；Δω为离散的频率区间；j=1,2,3,···,n；n为线路上模拟点总个数；N为离散频率的总个数；ω_mk为第m个模拟点在第k个截断频率处的频率值；φ_mk是在区间0~2π内均匀分布的随机变量。类似地，可以得到第j个离散点侧向和竖向的脉动风速时程v_j(t)、w_j(t)。

图  1  空间湍流风场示意图

Figure  1.  Diagram of spatial turbulent wind field

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图  2  移动列车风速时程提取示意图

Figure  2.  Scheme for extracting time histories of wind velocity on a moving train

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单移动点模拟方法由Cooper^[6]在1984年首次提出，其主要是基于Taylor^[7]“冻结”湍流场的流动假定，即当平均风速很大时，可以看成平均风速携带着湍流成分一起迁移，但在很短的时间τ内，流场中一定范围内的湍流脉动还没来得及发生演变就会来到下一个观测点。如图3所示，移动列车以速度V在t时刻由P点经过很短的时间τ后到达P′点，此时我们可以在流场中找到P′点在t时刻的等效冻结点${P_e^{\prime }}$。根据Taylor的假定，P和P′点的互相关系数与P和${P_e^{\prime }}$点的互相关系数系数等价，即：

式中：ρ为互相关系数；Δ为观察点之间的距离。通过互相关函数便可得到脉动风的自相关函数，进而通过傅里叶变换得到作用在移动列车上的脉动风功率谱。运用谐波叠加法，移动列车的脉动风速时程可表示为：

式中：$S_u^M$(ω)为移动点顺风向的脉动风速谱；其它各参数的意义与式(2)中保持一致。本文中的移动列车风速谱采用Li等^[9]所提出的表达式，它不仅能考虑不同的地面风速谱，还能考虑不同来流风向角的影响，具体可参考文献[9]。

图  3  基于移动点的Taylor“冻结”湍流场示意图

Figure  3.  Diagram of Taylor ‘frozen’ turbulence field based on a moving point

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通过以上可知，基于固定点差值的方法由于事先需要考虑地面各离散点之间的相关性来生成脉动风速时程，因此其计算量较大，效率较低，同时其差值的结果还会受到离散间隔的影响；而基于单移动点的方法利用Taylor“冻结”假定巧妙地将繁琐的多变量模拟转化为简单的单变量模拟，其无疑是一种更高效的计算方法。但是对于风车桥耦合振动等问题而言，采用时域方法计算时需要同时考虑作用在列车和桥梁上的风荷载，为保证列车长度方向脉动风的空间相关性与顺桥向的相关性保持一致性，此时移动列车的脉动风速只能通过固定点差值的方式得到。因此，在计算中应该针对具体的实际问题选择适当的方法来获得移动列车的脉动风速时程。图4给出了在车速为40 m/s，风速20 m/s和15%湍流强度时，通过两种方法计算得到的移动列车顺风向的脉动风速时程曲线。

图  4  移动列车顺风向的脉动风速时程

Figure  4.  Time histories of longitudinal wind velocity on a moving train

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2   移动列车横风非定常力计算

当横风的平均风速为U，移动列车以恒定的速度V在轨道上行驶时，其作用在列车上的风速矢量关系如图5所示。

图  5  作用在移动列车上的风速矢量图

Figure  5.  Diagram of speed vectors on a moving vehicle

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根据图中的矢量关系，作用在移动列车上的瞬态风速可表示为：

式中：V_R为移动列车上的瞬态风速；α为横风的风向角。另外，瞬态风速也可以分解为：

其中：

式中：${\overline {V}}_R$和$V_R'$分别为瞬态风速的平均项和脉动项。一般来说，平均风速U和车速V相对于脉动风速很大，可忽略脉动风的高阶项，联立式(5)~式(7)可得：

进而得到瞬态风速脉动项的表达式：

根据图5中的几何关系，可以得到：

其中：

式中，$\bar \beta$为平均风速和车速产生的平均合成风偏角。将式(10)代入式(9)，瞬态风速的脉动项可进一步化简为：

基于准定常理论，作用在移动列车上的非定常力可以分解为平均力$\bar F$和脉动力F'：

其中：

式中：ρ为空气密度；A是车体的参考面积；C_F是气动力系数，它与风攻角θ和合成风偏角β有关；θ与脉动风速w有关；β′和β″分别为脉动风速u和v引起的脉动风偏角。需要注意的是由于脉动风速是随时间是变化的，因此，气动力系数C_F也是随时间不断变化的。利用二元函数的Taylor展开公式，气动力系数C_F可以近似地表示为：

对式(15)采用以下的简化书写：

由于风速的脉动分量u、v、w引起的脉动风偏角β′、β″和风攻角θ很小，它们可以近似地表达为：

根据图5中的几何关系有：

将式(19)代入式(18)并忽略脉动风的高阶项，可得：

其中：

对式(21)在u=0和v=0处进行Taylor展开，忽略高阶项的影响，可得到g(u,v)的近似表达式为：

将式(22)代入式(20)，忽略脉动风的高阶项可得：

将式(12)、式(16)、式(17)和式(23)代入式(13)，忽略脉动风的高阶项，可得作用在移动列车上的非定常力：

其中：

式中，${F_u^{\prime }}$、${F_v^{\prime }}$和${F_w^{\prime }}$分别为脉动风速u、v、w引起的脉动力。

当横风的风偏角为90°，且仅考虑顺风向的脉动风速u时，此时非定常力的脉动部分可表示为：

此表达式与Baker^[13]提出的计算公式完全是等价的。当考虑脉动风速u和w，且忽略合成风偏角的脉动，此时非定常力的表达式与Li等^[3]的结果保持一致，详见文献[3]。当同时考虑脉动风速u和v时，同样可以得出Yu等^[15]推导的结果，详见文献[15]。以上的结果表明，本文给出的一种同时考虑三个湍流分量的移动列车非定常气动力计算公式与先前的研究结果是完全吻合的。

需要注意的是，式(24)的结果是基于准定常假定推导的，其显著的特点是力的脉动与风速的脉动完全保持一致。事实上，大量的风洞试验^[10]和实车测试^[12]表明列车的外形和悬挂特性会滤掉湍流风场中一些小尺度的漩涡。此时，需要引入时域内的气动权函数h_F(τ)来对准定常的结果进行修正。引入气动权函数后，式(24)中的脉动部分可修正为：

式中，h_F(τ)为气动权函数，其可以通过频域内的气动导纳函数X_F(ω)通过Fourier变换得到：

式中：ω为频率；i为虚数单位。参考Baker等^[12-13]的研究，列车的气动导纳函数定义为：

式中，S_F(ω)和S_u(ω)分别为作用在移动列车上的力谱和风速谱，可以通过风洞试验或实车测试得到。

通过以上的推导，我们可以得到作用在移动列车上的非定常侧向力S和升力L的表达式：

需要注意的是，由于竖向湍流的影响，需要通过以下的转换将气动力换算到列车的坐标平面：

式中：F_S和F_L分别为列车坐标系下的气动侧向力和升力。考虑到θ很小，因此可以近似地假定cosθ≈1。将式(17)和式(30)代入式(31)，于是可以得到：

同样地，我们可以得到作用在列车上的气动力矩，这里不再给出具体的计算公式。

3   数值算例

3.1   计算参数

通过式(32)可知，在进行非定常力模拟时需要提前知道移动列车的气动力系数和气动权函数。目前许多学者已经通过风洞缩尺试验^[10]、实车测试^[12-13]以及CFD数值模拟^[16-17]等方法对列车的空气动力学特性进行了研究，给出了气动力系数和权函数的近似表达式。这里采用Baker^[13]的研究成果，认为气动力系数C_F与合成风偏角的正弦值成正比：

式中，K_F为合成风偏角为90°时的气动力系数。使用Yan等^[10]风洞试验得到的高速列车气动力数据，通过式(33)对试验结果进行曲线拟合，得到不同风攻角下列车的K_F值如表1所示。图6给出了拟合曲线和原始试验数据之间的对比，其中散点为试验数据。

表  1  不同风攻角下列车的K_F值

Table  1.  K_F for various wind attack angles

攻角	–3°	0°	3°
侧向力系数CS	0.5039	0.3886	0.2802
升力系数CL	0.9659	0.8967	0.8405

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图  6  不同偏角和攻角角下列车的气动力系数

Figure  6.  Aerodynamic coefficients of trains for different yaw angles and attack angles

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移动列车的气动权函数反映了湍流中各脉动分量与非定常气动力在时域内的传递关系，目前对其的研究还相对较少。通常假定各方向的湍流分量对气动力的影响是相同的，即在计算气动荷载时顺风向、侧向与竖向均采用相同的权函数。这里我们同样采用Baker^[13]提出的近似表达式：

其中：

式中：$\bar \tau$是无量纲的时间($\bar \tau = \tau U/l$，l为车体的长度)；对于侧向力取γ=2.0；对于升力取γ=2.5。本次计算中采用的气动权函数如图7所示。

图  7  气动权函数

Figure  7.  Aerodynamic weighting function

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计算中，采用0.05 s的时间步来模拟大约50 s的力时程。同时所有的计算工况均考虑15%的湍流强度，列车的参考面积取60 m²，长度取20 m。

3.2   模拟的气动力

采用第2节中的计算公式和3.1节中的计算参数，图8给出了在20 m/s风速，40 m/s车速和90°风向角下，通过准定常法和权函数法模拟出的侧向力时程曲线，其对应的功率谱如图9所示。

由图8中可以看出，使用两种方法模拟的力时程都在平均力附近波动，且波动的整体规律基本保持一致。但是，由于权函数的滤波效应，使权函数法模拟的时程曲线明显比准定常法模拟的结果光滑。同时，由于权函数方法实际上是基于准定常结果的卷积积分，因此考虑权函数后的力脉动相对于准定常结果大约有0.25 s的时间滞后。由于权函数滤掉了湍流风中的高频脉动成分，所以图9中通过准定常方法模拟的功率谱在高频范围内(大于1 Hz)具有更高的能量。

图  8  模拟的非定常侧向力时程

Figure  8.  Simulated time histories of unsteady side forces

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图  9  模拟的非定常侧向力功率谱

Figure  9.  Simulated power spectra of unsteady side forces

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通常人工模拟的脉动风速时程u、v和w均为平稳的高斯随机过程，服从均值为0标准差分别为σ_u、σ_v和σ_w的正态分布。由于各方向的湍流分量是相互独立的，因此式(24)中的非定常气动力也是服从均值为$\bar F$的正态分布，其标准差可通过以下的表达式获得：

式中，${\sigma _{F_u'}}$、${\sigma _{F_v'}}$和${\sigma _{F_w'}}$分别为脉动力的标准差。类似地，同样的结果可以应用到基于权函数方法的模拟中。图10给出了统计的概率分布与目标正态分布(实线)之间的对比。从图10中可以看出，统计分布结果与目标的正态分布保持一致。考虑权函数后得到的气动力标准差明显小于准定常法得到的标准差。

图  10  非定常侧向力的概率分布

Figure  10.  Probability distribution of unsteady side forces

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3.3   湍流成分和来流风向角效应

在以往的研究中通常只考虑顺风向的湍流并假定横风始终垂直于列车的运动方向。因此，本小节将讨论不同方向的湍流成分以及来流风向角对非定常气动力力的影响。

考虑车速和风速分别为40 m/s和20 m/s，不同湍流分量和来流风向角下非定常侧向力的时程曲线和概率分布如图11所示。从图11中可以看出，总体的趋势是当考虑更多方向的湍流分量后，将会获得更大的力脉动和标准差。同时，气动力还会受到横风风向角的影响：当风向角为60°和90°时，侧向脉动分量v对非定常侧向力的影响很小；当风向角向两边移动时，脉动分量v对力的影响开始逐渐增大。观察图5可知，如果风向角α接近90°，此时作用在列车上的有效侧向脉动风速很小，因此侧向脉动分量对力的影响也很小。

图  11  不同湍流分量和风向角下非定常侧向力的力时程和概率分布

Figure  11.  Time histories and probability distribution of unsteady side forces for different turbulent components and wind directions

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通过式(24)和式(36)，可以得到脉动力的变异系数有如下关系：

通过第3.2节的分析可知，当车速和风速被给定以后，脉动力的变异系数便只与横风偏角有关。图12给出了在20 m/s风速和40 m/s车速时，非定常侧向力的平均值与变异系数随横风风向角变化的情况。由图可知，气动力的均值随风向角的变化呈现出不对称的波峰分布，大概在75°出现最大值。由式(24)可知，气动力的均值主要与作用在列车上的合成风速和无量纲的气动力系数有关。当来流风向角由0°向180°变化时，由式(33)可知，气动力系数按照正弦函数的变化规律先增大后减小，因此图12(a)中的平均力也呈现出先增大后减小；但由于平均合成风速的影响，因此气动力的变化是不对称的。从图12(b)中可以看出，由侧向脉动分量产生的变异系数对来流风向角十分敏感，大约在75°风向角时出现变异系数接近0的极值，这说明在式(25b)中的系数C_v会出现零点。这也很好地解释了为什么图11(b)和图11(c)中侧向脉动分量v对非定常侧向力的影响很小。

图  12  横风风向角对非定常侧向力的影响

Figure  12.  Effect of wind direction on unsteady side forces

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4   结论

基于准定常理论并考虑气动导纳函数的影响，本文推导了在完全湍流风场中移动列车横风非定常气动力的计算公式，并通过数值算例研究了不同参数对计算结果的影响。主要研究结论如下：

(1)基于离散固定点的差值方法和Taylor“冻结”湍流假定的单移动点模拟方法，得到了作用在移动列车上的瞬态风速时程，并总结了两种方法的优缺点和适用性。

(2)分别给出了通过准定常法和权函数法计算移动列车非定常气动力的表达式，该公式能同时考虑三个方向的湍流脉动和任意横风风向角的影响，这对于后续分析列车的横风稳定性具有重要意义。

(3)数值算例表明：采用权函数方法得到的非定常力会出现滤波和时间滞后效应；当湍流中更多方向的脉动分量被考虑时，计算时会获得更大的力脉动；随着风向角的不断增大，气动力的均值先增大后减小，并在大约75°风向角时出现最大值；侧向湍流分量对气动力脉动的影响不可忽视，其变异系数随着风向角的增加而先减小后增大，并在大约75°风向角时出现极值。