钢-混组合梁因其自重较轻、承载力高、刚度大等优点而得到了越来越广泛的应用。常见的钢-混组合梁结构形式是由柔性剪力键连接钢梁和混凝土子梁而成，这种结构既能发挥钢材受拉又能发挥混凝土受压的材料特点^[1-3]。

钢-混组合梁的动力学研究已比较常见^[4-7]。早期，基于Euler-Bernoulli梁理论，Girhammar等^[8]推导了考虑界面剪切滑移效应的钢-混组合梁的运动平衡微分方程，指出了界面剪切滑移效应对组合梁自振频率的折减效应是不容忽视的。Huang和Su^[9]提出了影响组合梁频率折减量的两个无量纲参数，组合连接系数和上下层截面抗弯刚度比。Wu等^[10]推导了梁端轴力作用下组合梁自振频率计算公式，以简支梁为参考，给出了悬臂、简支-固支和固支-固支等三种典型边界条件下自振频率的近似表达式。侯忠明等^[11-12]提出了“动力折减系数”的概念，包括“刚度折减系数”和“频率折减系数”两部分。从理论和实验的角度讨论了“动力折减系数”随剪力键刚度的变化规律。孙琪凯等^[13]从能量法的角度给出了有限元计算公式，可用于分析轴向变抗弯刚度的钢-混组合梁的动力特性。对于细长梁的低阶频率的分析，Euler-Bernoulli梁理论计算精度一般可以满足工程要求。但是，对于短粗梁或者进行高阶频率分析时，如果继续忽略钢-混组合梁剪切变形和转动惯量的影响，则计算误差会增大，不再满足工程要求。因此，部分学者^[14-17]将Timoshenko梁理论用于组合梁动力分析。Xu等^[14]推导了Timoshenko组合梁运动微分方程，说明了组合梁动力分析时，剪切变形和转动惯量是不可忽略的。Lin等^[15-16]给出了刚度矩阵和质量矩阵，从有限元法的角度求解了组合梁的动力性能。以上研究中虽然考虑了剪切变形和转动惯量的影响，但是均假设混凝土子梁与钢梁的转角相等，这与组合梁的实际运动状态是不符的。因为混凝土子梁与钢梁的剪切角与各自的剪切模量有关，而两者的剪切模量具有很大的差异。Nguyen等^[17]给出了考虑混凝土子梁和钢梁剪切角不同时的组合梁运动微分方程，得到了频率解析解。说明了当假设子梁转角相同时，组合梁的剪切刚度被高估，造成计算所得频率仍然高于实际频率。但是该计算模型中忽略了考虑转动惯量的影响，且无法分析沿梁轴向变抗弯刚度的钢-混组合梁的动力性能^[13]。

动力刚度矩阵法在无滑移的组合梁结构分析中得到了广泛的应用^[18-20]。该方法推导过程中没有引入力或位移形函数，因此是精确解而非近似解。由于可以采用与静力刚度法类似的方式组装动力刚度矩阵，因此，可被用于分析沿梁轴向变抗弯刚度的组合梁的动力特性。目前在考虑剪切滑移的组合梁动力分析方面，Li等^[21]、Bao等^[22]和Sun等^[23]学者给出了基于Euler-Bernoulli梁理论的钢-混组合梁的动力刚度矩阵。如前所述，其无法满足高阶振型和短粗梁的频率分析要求。Wang等^[24]基于Timoshenko梁理论及子梁等转角假设给出了6个自由度的钢-混组合梁的动力刚度矩阵。子梁等转角假设过高的估计了结构的剪切刚度，造成频率计算结果仍然偏大。

本文基于Timoshenko梁理论提出了用于分析钢-混组合梁动力特性的动力刚度矩阵法。该方法中，假设混凝土子梁和钢梁具有独立的剪切角，其大小与各自的剪切模量相关。该假设更加符合钢-混组合梁的实际运动状态，从而具有更高的计算精度。而且由于矩阵推导过程中没有使用力场或位移场近似形函数，因此计算结果是准确的。最后，采用本文提出的方法分析了不同跨高比、剪力键刚度时，剪切变形和转动惯量对钢-混组合梁自振频率的影响。

1   运动微分方程

1.1   基本假设

以如图1中所示钢-混组合梁为研究对象。混凝土子梁和钢梁中性轴到钢混结合面的距离分别为h_c和h_s，两者之间的距离为h。下标c和s分别为混凝土子梁和钢梁的材料和结构参数。E_i、k_i、G_i、I_i、ρ_i和A_i (i=c, s)分别表示为子梁的弹性模量、剪切形状系数、剪切模量、抗弯惯性矩、密度和横截面积。为便于表述，以下分析中，${{{\partial ^m}N} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\partial ^m}N} {\partial {\eta ^m}}}} \right. } {\partial {\eta ^m}}}{\text{ = }}{N_{\underbrace {,\eta \cdots \eta }_m}}$。

本文中基于Timoshenko梁理论分析钢-混组合梁的动力特性时，基本假设如下：

1) 本文只研究钢-混组合梁平面内的弯曲振动，且基于小变形假设。

2) 混凝土子梁和钢梁的剪切角是独立的。

3) 混凝土子梁和钢梁之间可以沿水平向相对滑动，而不能竖向掀起脱离。

4) 钢混结合面上的剪力全部由剪力键承担，且剪切滑移量与剪力键承受的剪力成正比关系，剪力键可以等效为连续分布的弹簧，剪力键的等效剪切刚度为K。

图  1  钢-混组合梁构造图

Figure  1.  Structural drawing of steel-concrete composite beam

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1.2   建立运动方程

根据以上假设，混凝土子梁与钢梁之间的剪切滑移量u_cs(图2)可以表示为：

式中：u_c、u_s分别为混凝土子梁和钢梁中性轴处的轴向位移；θ_c、θ_s分别为混凝土子梁和钢梁的截面转角。

图  2  剪切滑移量示意图

Figure  2.  Schematic diagram of shear slip

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由Hamilton 原理，钢-混组合梁的运动学问题可以表示为如下：

式中，T、U和U_cs分别为结构的动能、应变能和界面剪切滑移势能。

考虑转动惯量的影响，因此，动能T为：

式中，w为结构的竖向位移。

应变能U为：

界面剪切滑移势能U_cs为：

把式(3)~式(5)代入式(2)，并进行变分，可得钢-混组合梁的运动方程式：

式中：$EA = \dfrac{{{E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}} \times {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}{{{E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}$；${\widetilde {EI}_{\rm{s}}} = {E_{\rm{s}}}{I_{\rm{s}}}$；${\widetilde {EI}_{\rm{c}}} = {E_{\rm{c}}}{I_{\rm{c}}}$；${\widetilde {GA}_{\rm{s}}} = {k_{\rm{s}}}{G_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}}$；${\widetilde {GA}_{\rm{c}}} = {k_{\rm{c}}}{G_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}$；${J_{\rm{s}}} = {\rho _{\rm{s}}}{I_{\rm{s}}}$；${J_{\rm{c}}} = {\rho _{\rm{c}}}{I_{\rm{c}}}$；$m = {\rho _{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}} + {\rho _{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}$。

四个边界条件为：

式中：Q为组合梁剪力；M_c和M_s为混凝土子梁和钢梁的弯矩；$N = {{\left( {{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{N_{\rm{s}}} - {E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}}{N_{\rm{c}}}} \right)} \mathord{\left/{\vphantom {{\left( {{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{N_{\rm{s}}} - {E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}}{N_{\rm{c}}}} \right)} {\left( {{E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}} \right)}}} \right.} {\left( {{E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}} \right)}}$为子梁轴力N_s和N_c的合力；$\widetilde {GA} = {\widetilde {GA}_{\rm{s}}} + {\widetilde {GA}_{\rm{c}}}$。

采用分离变量法对式(6)进行解耦，假定式(6)的解具有如下形式：

式中，W、U_cs、Θ_s和Θ_c为相应的振型函数；ω为结构的自振频率；φ 为初始相位角。

把式(8)代入式(6)，可得：

联立式(9)中的四个式子，可以得到组合梁运动微分方程的最终形式：

式中：

2   动力刚度矩阵法

式(10)为8阶常微分方程，其特征方程为：

式中，$\chi = {\lambda ^2}$，$\lambda$为特征值。

式(11)是一个一元四次方程，由费拉里法可以获得方程的四个根，如下所示：

式中：${p_1} = \sqrt {8{\kappa _1} + \eta _3^2 - 4{\eta _2}}$；${p_2} = {\eta _3}{\kappa _1} - {\eta _1}$，${\kappa _1}$为下式的任意实数解。

根据Nguyen等^[17]的研究，式(11)有一个负根(${\chi _{{4}}}{\text{ < }}0$)和三个正根(${\chi }_{\text{1}}{,} {\chi }_{\text{2}}\text{ }和\text{ }{\chi }_{\text{3}}\text{ > }0$)。为了避免刚度矩阵中浮点数溢出的问题，式(9)的解可以写为^[24]：

式中，A_i、B_i、C_i和D_i为振型待定系数。把式(14)代入式(9)可得待定系数之间的关系如下：

式中：

式中：

由式(14)可得，位移向量${{\boldsymbol{u}}_{\rm{e}}}$与待定系数向量${\boldsymbol{a}}$之间的关系，如下：

把式(14)~式(16)代入式(7)，可得力向量${{\boldsymbol{p}}_{\rm{e}}}$与待定系数向量${\boldsymbol{a}}$的关系式，如下：

式中：

由式(17)和式(18)可得：

式中，${{\boldsymbol{K}}_{\rm{e}}} = {{\boldsymbol{M}}_{\rm{e}}}{\boldsymbol{N}}_{\rm{e}}^{{ - 1}}$即为钢-混组合梁的8自由度动力刚度矩阵。

按照与静力刚度法相同的过程，组装动力刚度矩阵，构建整体刚度矩阵${{\boldsymbol{K}}_{\rm{g}}}$，则有：

式中，${{\boldsymbol{p}}_{\rm{g}}}$和${{\boldsymbol{u}}_{\rm{g}}}$为整体力向量和整体位移向量。

工程中常见的边界条件有：自由(F)、简支(S)和固支(C)三种，对应的边界条件为：

图3给出了计算组合梁自振特性时的流程图。

图  3  动力刚度矩阵法计算流程图

Figure  3.  Calculation flow chart of dynamic stiffness matrix method

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3   算例分析

3.1   理论验证

采用文献[13]中的钢-混组合实验梁2对本文中的理论进行验证，结构尺寸见图4所示。实验梁2的横截面是由1700 mm×300 mm的矩形混凝土子梁和550 mm×450 mm×28 mm的工字钢梁组成，两者之间采用直径为22 mm的剪力钉连接。梁长为8.5 m，跨径为8 m。沿梁长方向按照剪力键的疏密程度，划分为5个区段^[13]：(2.0+3×1.5+2.0) m；相应的剪力键刚度K为：(2204+1291+461+1291+2204) MPa，梁材料见表1所示。

图  4  实验梁构造图　/mm

Figure  4.  Structural drawing of experimental beam

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表  1  梁材料参数

Table  1.  Material parameters of composite beam

参数	实验梁
	混凝土子梁	钢梁
Ei/MPa	3.0×104	2.06×105
Gi/MPa	1.4375×104	7.9231×104
ρi/(kg/m3)	2600	7850
ki	0.83	0.38
Ai/m2	0.51	0.0406
Ii/m4	3.825×10−3	2.495×10−3

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具体试验过程和ANSYS有限元软件建模过程均已在文献[13]中详述，此处不在赘述。

图5给出了ANSYS计算结果的前5阶振型云图如下所述。

图  5  前5阶振型

Figure  5.  First five modes

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由表2可得：

表  2  实验梁2自振频率分析结果对比表

Table  2.  Comparison of eigenfrequencies obtained by different methods for experimental beam 2

阶数	测试结果	ANSYS	理论计算结果
			文献[23]	文献[24]	本文理论
1	19.38	21.08	22.86 (4.9)	22.04 (1.2)	21.79
2	63.13	63.09	73.99 (12.9)	72.92 (11.3)	65.52
3	−	116.71	156.37 (24.0)	143.63 (13.9)	126.07
4	−	172.08	263.46 (35.6)	231.45 (19.2)	194.23
5	−	224.48	402.66 (48.2)	333.06 (22.6)	271.65
注：文献[23]为Euler-Bernoulli组合梁模型；文献[24]为Timoshenko组合梁模型，但假设混凝土子梁和钢梁具有相同的剪切角。括号中数值为相对于本文理论计算结果的误差/(%)。

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1) 试验测试、ANSYS计算和本文理论计算的前3阶频率基本一致。说明文中理论可用于分析钢-混组合梁的自振特性。

2) Euler-Bernoulli组合梁模型和子梁同剪切角假设的Timoshenko组合梁模型的频率计算结果明显大于试验测试、ANSYS计算和本文理论，而且阶数越高，误差越明显。第5阶频率Euler-Bernoulli组合梁模型误差达48.2%，子梁同剪切角假设的Timoshenko组合梁模型达22.6%。说明钢-混组合梁自振特性分析时，不可忽略剪切变形的影响；且不可简单的假设混凝土子梁与钢梁剪切角相等。

3.2   影响因素分析

本节在讨论不同剪力键刚度、跨高比时，剪切变形和转动惯量对钢-混组合梁自振频率的影响。以图3中的钢-混组合梁为参考，改变部分结构或材料参数，讨论相关影响因素，最终得到跨高比为何时，可以忽略剪切变形和转动惯量的影响。工程应用中，前3阶竖向频率比较重要，因此本节主要针对前3阶竖向频率进行讨论。

3.2.1   剪力键刚度分析

参照文献[23]，给出与剪力键刚度和梁截面刚度相关的无量纲系数：组合连接系数α。其表达式为$\alpha = {{( {{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}h_1^2 + {E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}}h_2^2} )} \mathord{/{\vphantom {{( {{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}h_1^2 + {E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}}h_2^2})} {K{h^2}{L^2}}}} } {K{h^2}{L^2}}}$，h₁和h₂分别为混凝土子梁和钢梁中心轴到全截面中心轴之间的距离。图6给出了实验梁2(图4)其他参数不变，仅改变剪力键刚度时，前3阶自振频率的变化情况。

图  6  前3阶自振频率随剪力键刚度的变化情况

Figure  6.  Effect of shear connector stiffness on first three eigenfrequencies

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图6可以明显得出：

1) 相对于本文模型计算结果，频率阶数越高，α越小(剪力键刚度越大)，Euler-Bernoulli组合梁模型结果误差越大。

2) 当α<10⁻³(剪力键刚度很大，剪切滑移量很小)或者α>1(剪力键刚度很小，上下层间几乎无剪切约束)时，两种计算模型的计算结果误差基本不变。

综上所述，在以下讨论跨高比的影响时，选取组合连接系数α=10⁻³，并选取第3阶为控制频率进行分析。

3.2.2   跨高比的影响

图7给出了钢-混组合梁前3阶频率随跨高比的变化规律。图7中，${\omega ^{{\rm{E - B}}}}$为采用Euler-Bernoulli组合梁模型(文献[23])计算所得频率；${\omega ^{\rm{T}}}$为采用本文计算模型(Timoshenko组合梁模型)所得频率。

图  7  前3阶自振频率随跨高比的变化情况

Figure  7.  Effect of depth-to-span on first three eigenfrequencies

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图7表明：

1) 随着跨高比的增大，Euler-Bernoulli梁理论的计算误差逐渐减小。且跨高比越小，这种变化越明显。

2) 跨高比对高阶频率的影响明显大于低阶频率。对于1阶频率，跨高比大于10后，两种理论计算结果误差即小于5%；对于2阶频率，跨高比应大于18；对于3阶频率，应大于25。

4   结论

本文基于Timoshenko梁理论，提出了一种分析钢-混组合梁动力性能的新方法——动力刚度矩阵法。通过实验梁模型对方法的适用性进行了验证，并讨论了高跨比、剪力键刚度对频率计算结果的影响，主要结论如下：

(1) 本文提出的动力刚度矩阵法适用于分析钢-混组合梁的动力特性。相比于Euler-Bernoulli组合梁计算模型和子梁同剪切角假设的Timoshenko组合梁计算模型，本文的方法具有更高的计算精度。

(2) 钢-混组合梁动力特性分析时，尤其是进行高阶频率分析时，不可忽略剪切变形和转动惯量的影响；而且不能简单的假设混凝土子梁与钢梁具有相同的剪切角。

(3) 相对于Timoshenko组合梁理论，分析的频率越高或剪力键刚度越大，Euler-Bernoulli组合梁模型计算结果误差越大。

(4) 跨高比越大，Euler-Bernoulli梁理论计算结果误差越小。若控制误差在5%以内，则对于第1阶频率，跨高比需大于10；第2阶，需大于18；第3阶，需大于25。