TIME-DEPENDENT SYSTEMATIC PROGRESSIVE COLLAPSE RESISTANCE OF STEEL TRUSS ARCH BRIDGE UNDER HANGER FRACTURE
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摘要:
吊索猝断下在役钢桁拱桥体系的抗连续倒塌性能为结构应对非对称极端作用提供了必要的内部缓冲机制，材料劣化会改变体系抗连续倒塌过程中的再平衡格局。基于等效卸载的AP法模拟吊索猝断下应力波的传递与叠加效应，建立了吊索猝断下体系时变连续倒塌易损性评估方法。基于MATLAB/OpenSEES编制了单元纤维的时变演化参数组管理程序，建立了基于纤维宏单元的时变体系连续倒塌数值模拟方法，并通过动力试验数据验证了数值模拟的准确性；采用增量动力分析(IDA)法，开展了吊索猝断下钢桁拱桥的连续倒塌易损性分析，研究了材料劣化对吊索猝断下体系抗连续倒塌性能的影响规律。结果表明：吊索猝断会引起钢桁拱桥主要承载构件响应增大，其中猝断吊索相邻范围内受影响最大；材料劣化会降低钢桁拱桥体系的抗连续倒塌能力；基于IDA法的时变连续倒塌模型，可有效评估钢桁拱桥服役年限内的抗连续倒塌性能。
Abstract:The progressive collapse resistance capability of a steel truss arch bridge system in service under hanger fracture provides an essential buffer mechanism for the structural response to against asymmetric extreme loads, and the rebalancing pattern during the systematic progressive collapse resistance will be altered due to material deterioration. The AP method, which based on equivalent unloading, simulates the transfer and superposition effects of stress waves during hanger fracture. One kind of means for evaluating the vulnerability of time-dependent progressive collapse of systems under hanger fracture is established. Based on MATLAB/OpenSEES, the time-dependent evolution parameter group management program of fiber elements is compiled, and the numerical simulation method for systematic time-dependent progressive collapse based on the fiber macro-element is established, and the accuracy of the numerical simulation is verified by the dynamic test results. The vulnerability to progressive collapse of steel truss arch bridges under hanger fracture is analyzed by the incremental dynamic analysis (IDA) method. The influence of material deterioration on the systematic progressive collapse resistance under hanger fracture on the fragility to progressive collapse resistance of steel truss arch bridges is investigated. The influence of material deterioration on systematic progressive collapse resistance under hanger fracture is studied. The analysis results show that hanger fracture leads to increases the response of main load-bearing components in the steel truss arch bridge, predominantly within the adjacent range of the hanger fracture. The material deterioration reduces the systematic progressive collapse resistance of the steel truss arch bridges. Additionally, the time-dependent progressive collapse model based on the IDA method can effectively evaluate the progressive collapse resistance of steel truss arch bridges during their service lives.
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服役桥梁的吊索猝断已不鲜见，如重庆鹅公岩轨道大桥服役不到2年短吊索发生猝断[1]。用吊索提升桥面系的大跨拱桥，在服役年限内无法避免地会遭受多种灾害和风险，在非对称极端作用下甚至发生连续倒塌[2 − 7]，如：宜宾市小南门大桥吊索猝断导致相邻范围桥面板坍塌；福建武夷山公馆大桥吊索猝断引发桥面坍塌；南方澳大桥吊索猝断而发生连续倒塌等。这一系列事故将吊索猝断下大跨拱桥梁应对非对称极端作用的防灾安全问题置于公众监督的最前沿。
桥梁体系的抗连续倒塌性能为结构应对此类非对称极端作用提供了必要的内部缓冲机制，通过应力塑性重分布丰富了结构的传力路径，增加了体系承载的平衡状态数[8 − 10]。WANG等[11]研究了不同工况吊索断裂下悬索桥的连续倒塌破坏机理；OKUR等[12]考虑不同加载条件和不同吊索失效场景，对土耳其Osmangazi悬索桥开展了抗连续倒塌性能评估；张羽和方志等[13 − 14]以湖南赤石特大桥拉索断裂事故为工程背景，研究了斜拉桥施工阶段断索后结构受力性能及连续倒塌破坏机理；ZHOU和CHEN[15]开发了拉索断裂下斜拉桥体系可靠性的评估框架，研究了拉索断裂时间、断裂过程、车辆荷载和风荷载等参数对斜拉桥破坏概率的影响。上述研究均假设体系承载机制不变，未充分考虑材料劣化对体系传力格局的改变；然而，桥梁受长期服役环境的侵蚀，材料劣化引发的构件延性退化会降低体系的再平衡能力，改变内力塑性再分配机制，甚至阻断传力路径，减少体系承载机制的状态数，其抗连续倒塌性能随服役年限增长而不断退化[16]。因此，如何在体系抗连续倒塌性能评估过程中考虑体系传力格局的经时变异性，尚鲜有相关研究。
开展吊索猝断下的体系时变抗连续倒塌性能数值分析，不仅考验吊索猝断下瞬时应力波传递、反射及叠加效应的模拟精度与效率[17]，也需要突破材料劣化本构参数高频更新带来的计算效率瓶颈[18]，还需要解决材料劣化的空间变异性带来的单元本构非均匀一致表征的难题[19]。目前已有学者开展了相关研究，如：吴庆雄等[20]采用ANSYS/LS-DYNA建立了数值模拟，对下承式钢管混凝土钢架系杆拱桥进行了吊索断裂非线性动力分析；FAN等[21]基于等效瞬态卸载法，采用ANSYS建立了吊索断裂系杆拱桥的数值模型，研究了不同吊索断裂工况下结构剩余构件的动力响应。现有研究在吊索断裂非均匀性动力分析过程中采用精细化数值模型，并已取得初步成果，但普遍存在计算效率不足及模型收敛困难等局限性[22 − 25]，但同时，大多研究未充分考虑材料劣化引发的构件延性降低、体系传力机制和内力重分配机制的改变，尤其在材料劣化位置非均匀性对体系承载机制的影响方面未予以对称性重视，而材料劣化及劣化非均匀性带来的参数高频更新可能会进一步增大计算的复杂性和收敛难度。因此，迫切需要建立高效精确的时变体系连续倒塌数值模拟方法。
本文基于等效卸载的AP(alternate path, 备用传力路径)法模拟吊索猝断下应力波的传递与叠加效应，建立了吊索猝断下体系时变连续倒塌易损性评估方法；基于MATLAB/OpenSEES编制了单元纤维的时变演化参数组管理程序，建立了基于纤维宏单元的时变体系连续倒塌数值模拟方法，并通过动力试验验证了数值模型的准确性；采用增量动力分析(incremental dynamic analysis method, IDA)法，开展了吊索猝断下钢桁拱桥的连续倒塌易损性分析，研究了材料劣化对吊索猝断下体系抗连续倒塌性能的影响规律。为在役钢桁拱桥服役过程中对未知风险的把控能力提供了精准高效地前置数据，降低了在(内部)缺陷和(外部)灾害作用下结构发生连续倒塌的概率，直接支撑桥梁韧性提升设计与防灾应急方案规划。
1 时变体系连续倒塌易损性
1.1 材料强度与延性的退化模型
1.1.1 钢材的退化模型
本文采用石永久等[26]提出的本构模型来模拟，如图1所示，其钢材的应力-应变关系可表示为：
σ={Esε,ε⩽ (1) 式中：Es为锈蚀钢材的弹性模量；εus为极限应变；fys为屈服强度；fus为极限强度可表示为[27]：
{f_{\rm{ys}}} = (1 - 0.8943\eta ){f_{\rm{y0}}} (2) {f_{\rm{us}}} = (1 - 0.8797\eta ){f_{\rm{u0}}} (3) {\varepsilon _{\rm{us}}} = (1 - 0.016{\text{4}}\eta ){\varepsilon _{\rm{u0}}} (4) {E_{\rm{s}}} = (1 - 0.8752\eta ){E_{0}} (5) 式中：k1s和k2分别为应力-应变曲线的形状控制参数。本文保持k2不变，k2取1.40；控制屈服平台的参数k1s随着锈蚀率η的退化规律可表示为：
{k_{\rm{1s}}} = 9.57{\text{00}} - 35.95{\text{00}}\eta (6) 1.1.2 吊索的退化模型
吊索作为钢桁拱桥的主要承载构件，在服役期间长时间受车辆往复荷载和恶劣服役环境的耦合作用，会出现力学性能退化的现象，严重时甚至猝断，极大影响钢桁拱桥体系的承载机制。腐蚀介质与钢丝接触引起的锈蚀是高强钢丝力学性能退化的主要原因，因此，在钢桁拱桥体系时变连续倒塌易损性研究中考虑吊索的力学性能退化具有重要意义。
本文采用龚帆等[28]提出的锈蚀高强钢丝本构模型，其应力-应变关系可由式(7)描述：
\sigma = \left\{ \begin{aligned} & {E\varepsilon ,}&&{\varepsilon {\leqslant} {\sigma _{\rm y}}/E} \\ & {E{\varepsilon _{\rm y}} + (\varepsilon - {\varepsilon _{\rm y}})\left( {\frac{{{\sigma _{\rm u}} - {\sigma _{\rm y}}}}{{{\varepsilon _{\rm u}} - {\varepsilon _{\rm y}}}}} \right),}&&{{\sigma _{\rm y}}/E {\leqslant} \varepsilon {\leqslant} {\varepsilon _{\rm u}}} \end{aligned}\right. (7) 式中，σy、σu和εu随服役年限锈蚀率而变化，其中屈服强度σy和极限强度σu随锈蚀率发展的关系式分别为：
\begin{split} {\sigma _{\rm y}} =& 1641.9405 - 40.3895{\eta _{\rm hs}} +\\& 2.7580{\eta _{\rm hs}^2} - 0.1158{\eta _{\rm hs}^3} \end{split} (8) \begin{split} {\sigma _{\rm u}} =& 1802.7033 - 30.9893{\eta _{\rm hs}} + \\& 1.71{\text{00}}{\eta _{\rm hs}^2} - 0.0934{\eta _{\rm hs}^3} \end{split} (9) 式中，ηhs为服役年限内的锈蚀率。极限应变εu随锈蚀率ηhs的关系式为：
{\varepsilon _{\rm u}} = 4.459{\text{5}} - 0.0907{\eta _{\rm hs}} (10) 此外，根据文献[28]，弹性模量的变化不大，本文假定弹性模量在服役年限内不受腐蚀的影响。
1.2 结构的破坏状态及失效指标
由于钢桁拱桥的构件多，备用荷载路径丰富，单个构件破坏并不会引起整个体系连续倒塌，其体系抗连续倒塌性能较其他桥型更高，因此定义3种破坏状态及其对应的失效指标。其中美国AASHTO规范[29]指出，当桥梁的挠跨比超过1/800时，汽车行驶过程中引起的振动会造成车内乘客不适，直接影响桥梁的正常使用；根据《公路钢结构桥梁设计规范》[30]，当采用不计冲击力的车道荷载加载，计算所得的主梁的挠跨比应小于1/250。因此，本文定义挠跨比为1/800时，结构体系达到正常使用SP(serviceability prevention)性态；定义挠跨比为1/250时，结构体系达到CP(collapse prevention)性态，此外，为保证部分构件破坏后整个桥梁体系的完整性，不至于发生连续倒塌，定义荷载放大系数λ达到λmax的80%时，结构体系达到SI(system instability)性态，具体见表1。
表 1 破坏状态及失效指标Table 1. Damage states and failure indicators破坏状态 失效指标 SP性态(Serviceability prevention) 1/800 CP性态(Collapse prevention) 1/250 SI性态(System instability) 80%λmax 1.3 连续倒塌IDA法
目前，国内外对桥梁连续倒塌的研究大多集中在分析结构连续倒塌过程中的动力响应(如构件的内力-时程曲线或者节点的位移-时程曲线)，而在钢桁拱桥体系的抗连续倒塌性能方面的研究却鲜有涉及。IDA法已被广泛应用于桥梁结构的抗震性能评估，为本文在役钢桁拱桥时变连续倒塌易损性评估提供了可借鉴的新思路，本文提出了适用于在役钢桁拱桥连续倒塌分析的IDA法，并将该方法应用到连续倒塌易损性评估框架中。其分析步骤如下：
1) 选取钢桁拱桥的钢主梁跨中节点挠度与跨度的比值(即挠跨比)作为本文的结构性能参数DM(Damage measure)，结构的外加荷载作为强度指标IM(Intensity measure)。
2) 将强度指标IM逐渐从0增加至整个结构体系达到某极限承载状态，将吊索作为断裂失效构件，采用基于等效卸载的AP法[31]模拟吊索猝断下瞬时应力波传递、反射及叠加效应，可以得到不同强度指标IM下对应的结构性能参数DM，并绘制出吊索断裂工况下的IDA曲线(即DM-IM曲线)。
1.4 时变概率倒塌需求模型
对于概率倒塌需求模型，参考基于IDA的桥梁地震易损性分析方法，在全寿命周期内考虑材料的经时演化，并假设外加荷载系数λ与挠跨比μ服从指数分布，即：
\mu (t) = m(t){\lambda ^{n(t)}} (11) 式中：m(t)和n(t)为服役年限内某一时刻t的回归参数；λ为外荷载系数；μ(t)为服役年限内某一时刻t的结构性能参数。对式(11)两边取对数，可以得到：
\ln \mu (t) = A(t)\ln (\lambda ) + B(t) (12) 式中，A(t)和B(t)为服役年限内某一时间的回归参数，其中A(t)在数值上同n(t)，B(t)在数值上同lnm(t)，对连续倒塌IDA曲线进行统计回归可获得上述参数。
1.5 基于IDA法的时变连续倒塌易损性
本文的连续倒塌易损性定义为不同水平的外加荷载作用下，结构达到某破坏状态的概率，在全寿命周期内考虑材料的经时演化，可表示为条件概率：
{P_{\text{f}}}(t) = P\left[ {d(t) {\geqslant} c(t)\left| \alpha \right.} \right] (13) 式中：Pf(t)为服役年限内某一时刻t钢桁拱桥某吊索断裂工况下结构的响应超越某个破坏状态的概率；d(t)为服役年限内某一时刻t钢桁拱桥抗连续倒塌需求；c(t)为服役年限内某一时间钢桁拱桥抗连续倒塌能力；假设d(t)和c(t)均服从对数正态分布，则服役年限内某一时刻t的失效概率可以表示为：
{P_{\text{f}}}(t) = \varPhi \left[ {\frac{{\ln \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{d} (t) - \ln \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{c} (t)}}{{\sqrt {{\beta _{\text{c}}}{{(t)}^2} + {\beta _{\text{d}}}{{(t)}^2}} }}} \right] = \varPhi \left[ {\frac{{ - \ln \left\{ {\dfrac{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{c} (t)}}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{d} (t)}}} \right\}}}{{\sqrt {{\beta _{\text{c}}}{{(t)}^2} + {\beta _{\text{d}}}{{(t)}^2}} }}} \right] (14) 式中： \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{c} (t) 为服役年限内某一时刻t钢桁拱桥响应的平均值； \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{d} (t) 为外加荷载平均值；βc(t)和βd(t)分别为的服役年限内某一时刻t钢桁拱桥c和d的对数标准差，根据文献[32]，本文 \sqrt {{\beta _c}{{(t)}^2} + {\beta _d}{{(t)}^2}} 取0.50。
2 基于纤维宏单元的时变体系连续倒塌易损性评估
2.1 数值模拟方法
如图2所示，本文聚焦钢桁拱桥材料劣化过程的体系再平衡和内力重分配性能，考虑材料劣化和吊索猝断下的动力效应，利用MATLAB编制了考虑材料退化的参数组管理程序，用于自动输入并实时更新核心物理量(纤维网格划分、单元的刚度参数等)和纤维本构的时空四维(x, y, z, t)描述矩阵，调用基于纤维宏单元的OpenSEES嵌入平台，采用IDA法，开展服役年限内吊索断裂工况下的连续倒塌分析。
本文纤维宏单元模型采用非线性纤维梁单元，每个单元设置4个积分点，每个积分点表征该处截面；将截面离散为若干钢纤维，并对不同的纤维赋予不同的单轴本构。由于主梁为多根纵梁和横向连接组成，因此主梁采用6个自由度空间梁单元组成的梁格模型，纵向梁格构件和横向梁格构件之间采用刚性连接。其中拱肋和主梁采用基于柔度法的纤维单元element nonlinearBeamColumn模拟；横联采用element elasticBeam Column模拟；吊索采用element truss模拟，并结合Steel02材料的$sigInit命令施加初始应力。
结合上述模拟方法，通过动力试验进行对比校对，并基于校验结果进一步优化相关参数，进而建立基于OpenSEES纤维宏单元的非线性动力数值模拟方法。因此动力试验对数值模型的验证对于抗吊索猝断下钢桁拱桥体系连续倒塌性能评估而言至关重要。
2.2 试验数据校验
为验证基于OpenSEES纤维宏单元模拟方法应用于钢桁拱桥数值模型的精度，本文参考肖宇哲等[33]关于混凝土梁柱子结构连续倒塌动力效应的试验研究，选取试验中的DT-1试件来验证本文数值模拟方法的精度。该试验梁对结构进行了1∶3缩尺，忽略尺寸效应的影响。试验梁分为2跨，每跨跨径2 m，横截面尺寸为170 mm×85 mm，在梁的顶部和底部分别设置2根直径为8 mm的纵向钢筋，并在梁端内配置直径为6 mm的顶部负弯矩钢筋，保护层厚度为6 mm，箍筋及测点等具体细节如图3(b)所示。如图3(a)所示，试验专门设计了的配重箱，配重箱内可根据需要放不同重量的铅块，以实现不同重量加载。配重箱采用夹板和螺杆进行固定，配重箱内用螺杆和螺栓来固定铅块，以防止整个配重系统自振。在进行试验时，先将柱头连接瞬脱钩，接着将配重系统与柱头固定，然后突然释放瞬脱钩致使试验梁进入动力倒塌过程。本文选用DT-1试验进行数值模拟方法验证，其配重箱里的总重力为14.11 kN，释放时间为0.01 s，最终试验得到自振周期为0.24 s、静止位移为27 mm、最大位移为31 mm。
采用基于OpenSEES纤维宏单元的非线性动力数值模拟方法模拟上述DT-1试验过程。其中，混凝土的本构模型采用Concrete01材料，不考虑混凝土的抗拉强度，试验梁中的纵筋采用Reinforcing Steel材料，不考虑箍筋对核心混凝土的约束效应。先进行恒载作用下静力分析，得到静力响应；然后进行模态分析，得到结构的模态和自振周期，以此来确定失效时间和动力分析所需的特征值，本文失效时间取0.01 s，远小于剩余体系自振周期的1/10；最后进行非线性动力分析，其中移除柱头采用OpenSEES中的“生死单元”(remove element)命令进行模拟，在移除单元的同时，施加和配重总重力大小相等、方向相反的力，定义输入文件input.txt文件，通过Pattern Plain进行时程加载来模拟柱头的失效过程，得到动力响应。
将上述的动力响应与文献进行对比，如图4所示，数值模拟结果表明，柱头与试验梁连接点向下最大位移为30.92 mm，并围绕向下27 mm左右振动慢慢趋于平缓，振动响应与DT-1试验数据基本一致，满足精度要求。因此认为，本文基于OpenSEES纤维宏单元的非线性动力数值模拟方法，可以精确地模拟构件失效引起的动力响应，可用于本文钢桁钢桥在典型吊索断裂工况下的连续倒塌分析。
2.3 评估框架
基于上述理论和方法，构建吊索猝断下在役钢桁拱桥时变体系连续倒塌易损性的评估框架，具体步骤如下：
步骤1：采用基于OpenSEES纤维宏单元的非线性动力数值模拟方法建立钢桁拱桥完整体系的数值模型进行模态分析，并同时建立三维杆系模型进行模态分析，得到钢桁拱桥一期和二期恒载作用下的响应以及自振模态和周期。通过对比两个软件的静力响应及模态周期，校验OpenSEES数值模型的准确性。
步骤2：通过恒载作用下的静力响应，选取最不利的3组对称吊索，作为本文研究的典型吊索断裂工况，并开展典型吊索断裂工况下的连续倒塌分析，得到恒载作用下典型吊索断裂工况下的吊索、拱肋和主梁的动力响应。
步骤3：上述分析基础上，采用车道荷载加载，得到恒活载作用下典型吊索断裂工况的吊索、拱肋和主梁的动力响应。
步骤4：以t=0为例，对外加荷载进行调幅，采用IDA法进行典型吊索断裂工况下的非线性动力分析，分别以挠跨比和荷载系数为横纵坐标得到IDA曲线。
步骤5：通过回归分析，对IDA曲线进行拟合，得到典型吊索断裂工况下的概率倒塌需求模型。
步骤6：将概率倒塌模型代入式(14)，得到t=0时刻典型吊索断裂工况下钢桁钢桥体系的连续倒塌易损性。
步骤7：计算不同锈蚀率下的本构模型参数，建立基于MATLAB的时变演化参数管理框架，采用增量动力分析在锈蚀率0%~20%区间内进行典型吊索断裂工况下的非线性动力分析。重复步骤4~步骤6，得到不同锈蚀率下典型吊索断裂工况下钢桁钢桥体系的连续倒塌易损性。
3 案例分析
3.1 案例概况
该案例为全长998 m的实际桥梁。其中主桥采用三跨中承式钢桁架系杆拱桥。桥梁主桥为三跨连续钢桁拱结构，吊索采用平行钢绞线拉索体系，标准强度为1860 MPa，采用直径为15.2 mm镀锌或环氧涂层钢绞线。具体结构形式、材料和尺寸如图5所示。
本文结合2节中基于OpenSEES纤维宏单元的非线性动力数值模拟方法进行模拟，如图6所示，全局坐标系X沿桥梁纵向，全局坐标系Y沿桥梁横向，全局坐标系Z竖直向上；主梁(包括外纵梁和内纵梁)采用基于柔度法的三维弹塑性纤维宏单元element nonlinearBeamColumn进行模拟，将主梁截面划分为若干纤维，钢材Q345采用Reinforcing Steel材料本构模型；拱圈(外拱圈和内拱圈)同样采用基于柔度法的三维弹塑性纤维宏单元element nonlinearBeamColumn进行模拟，将拱圈截面划分为若干纤维，钢材Q345采用Reinforcing Steel材料本构模型；吊索采用三维桁架单元element truss进行模拟，吊索采用Steel02材料本构模型，通过Steel02材料本构模型中参数$sigInit施加初应力；其余单元(包括横纵向联系)采用三维弹性单元element elasticBeamColumn模拟，该单元可以设置构件的刚度参数；同时建立三维杆系模型，将其计算的等效节点质量赋予OpenSEES中节点的三个平动方向。
3.2 典型吊索猝断工况下连续倒塌分析
选取成桥恒载作用下最不利吊索作为本文的吊索的典型断裂工况，即：H2吊索断裂、H6吊索断裂和H7吊索断裂三个工况。由于横桥向吊索对称，所以吊索断裂时认为对称断裂，吊索的断裂失效时间取0.01 s。
在成桥恒载作用下，H2吊索、H6吊索和H7吊索猝断后，相邻吊索应力如图7所示。其中：H2吊索猝断，H1吊索应力从68.85 MPa迅速增大到最大应力137.57 MPa，最大增幅为68.72 MPa (约为99.80%)；H3吊索应力从69.15 MPa迅速增大到最大应力120.59 MPa，最大增幅为51.44 MPa(约为74.38%)。H6吊索猝断，H5吊索应力从71.20 MPa迅速增大到最大应力126.56 MPa，最大增幅为55.36 MPa (约为77.76%)；H7吊索应力从72.56 MPa迅速增大到最大应力123.81 MPa，最大增幅为51.25 MPa (约为70.63%)。H7吊索猝断，H6吊索应力从72.19 MPa迅速增大到最大应力125.30 MPa，最大增幅为53.11 MPa (约为73.56%)；H8吊索应力从69.65 MPa迅速增大到最大应力120.04 MPa，最大增幅为50.39 MPa (约为72.35%)。
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图 7 H2、H6和H7吊索断裂相邻吊索应力值Figure 7. Stress of adjacent hanger due to H2, H6, and H7 hanger fracture除了相邻吊索吊索力，吊索猝断后锚固点动力响应如图8所示。其中：H2吊索猝断，H2吊索下锚固点位移从16.66 mm迅速增大到23.87 mm，最大振幅为7.21 mm；H2吊索上锚固点位移从17.03 mm迅速增大到17.57 mm(局部坐标)，最大振幅为0.54 mm。H6吊索猝断，H6吊索下锚固点位移从49.02 mm迅速增大到60.75 mm，最大振幅为11.73 mm；H6吊索上锚固点位移从49.90 mm迅速增大到51.14 mm，最大振幅为1.13 mm。H7吊索猝断，H7吊索下锚固点位移从55.37 mm迅速增大到67.56 mm，最大振幅为12.19 mm；H7吊索上锚固点位移从56.26 mm迅速增大到57.55 mm，最大振幅为1.28 mm。
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图 8 H2、H6和H7吊索断裂锚固点动力响应Figure 8. Dynamic response of anchor points due to H2, H6, and H7 hanger fracture可见，恒载作用下，吊索猝断会对钢桁拱桥体系受力产生不同程度的影响。其中，在断裂吊索相邻范围内结构受影响相对较大。为了研究恒活载作用下典型吊索断裂工况下结构的动力响应，本文根据《公路桥涵设计通用规范》[34]的建议，在分析过程中采用车道荷载加载。
采用基于OpenSEES纤维宏单元的非线性动力数值模拟方法进行模拟，吊索断裂失效时间取0.01 s。H2吊索、H6吊索和H7吊索猝断后，剩余所有吊索最大应力和应力增量如图9所示，其中：H2吊索猝断，H1吊索和H3吊索应力最大，分别为156.49 MPa和145.21 MPa，应力增量分别为80.05 MPa和60.43 MPa，其余吊索应力增量均未超过10.00 MPa；H6吊索猝断，H5吊索和H7吊索应力最大，分别为148.70 MPa和150.05 MPa，应力增量分别为62.62 MPa和57.99 MPa，其余吊索除了H4吊索应力增量为12.68 MPa，其余吊索应力增量均未超过10.00 MPa；H7吊索猝断，H6吊索和H8吊索应力最大，分别为150.20 MPa和156.95 MPa，应力增量分别为62.49 MPa和60.74 MPa，H5应力增量为14.07 MPa，H9应力增量为15.99 MPa，其余吊索应力增量均未超过10.00 MPa。可见恒活载作用下H2吊索、H6吊索和H7吊索猝断后其余吊索均未达到吊索的破断强度。
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图 9 H2、H6和H7吊索断裂剩余吊索最大应力和应力增量Figure 9. Maximum cable force of remaining hanger due to H2, H6, and H7 hanger fracture除了吊索，本文对典型吊索断裂工况下主梁振动过程中的最大拉压应力进行了研究。如图10所示，H2吊索断裂工况下，主梁的最大拉应力为67.25 MPa，最大压应力为34.34 MPa；H6吊索断裂工况下，主梁的最大拉应力为64.54 MPa，最大压应力为34.69 MPa；H7吊索断裂工况下，主梁的最大拉应力为64.60 MPa，最大压应力为34.87 MPa。均小于钢材的安全阈值(钢材屈服强度345 MPa)。
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图 10 H2、H6和H7吊索断裂主梁最大拉压应力Figure 10. Maximum tensile and compressive stress of the main beam due to H2, H6, and H7 hanger fracture从3.2节的研究结果可以看出，钢桁拱桥短吊索的断裂对结构响应的影响较中部长吊索大；并且，吊索断裂会引起的其扰动范围内吊索和主梁的应力出现不同程度的增大。
3.3 连续倒塌IDA分析
在3.2节的研究基础上，对荷载系数进行调幅，采用IDA法，对三种典型吊索断裂工况下钢桁拱桥体系进行非线性动力分析，其中还是采用车道荷载加载，将荷载系数λ作为纵坐标，主梁跨中节点挠跨比μ作为横坐标，其中主梁跨中节点挠度取吊索断裂工况下振动过程中的最大位移；根据《桥梁结构用钢》(GB/T 714−2015)[35]，Q345的极限强度为490 MPa，本文钢桁拱桥的极限荷载取主梁达到极限强度时对应的荷载系数。图11所示分别为H2、H6和H7吊索断裂工况下的IDA曲线。
从图11分析结果可以看出，三种典型吊索断裂工况下钢桁拱桥体系均经历了相似的破坏阶段，在IDA曲线的开始阶段有明显的弹性阶段；随着荷载系数λ的不断增大，其材料开始屈服逐渐进入非线性阶段。表现在：IDA曲线出现拐点，主梁跨中主梁节点挠跨比迅速增大，曲线趋于平缓，结构进入弹塑性阶段；当荷载系数λ增大到最大值λmax时，整个结构发生连续倒塌。本文基于OpenSEES纤维宏单元数值模拟方法，可有效模拟钢桁拱桥连续倒塌全过程。
3.4 概率倒塌需求模型
对IDA曲线进行拟合，本文假设外加荷载系数λ与挠跨比μ服从指数分布，拟合结果如图12所示。概率倒塌需求模型如表2所示。
表 2 概率倒塌需求模型Table 2. Probability collapse demanding model吊索的典型断裂工况 概率倒塌需求模型 R2 H2吊索断裂 ln(μ)=1.3369ln(λ)−4.4927 0.9652 H6吊索断裂 ln(μ)=1.2733ln(λ)−4.3168 0.9673 H7吊索断裂 ln(μ)=1.2842ln(λ)−4.3279 0.9669 3.5 典型吊索猝断工况下连续倒塌易损性
将表2中的概率倒塌需求模型代入式(14)，结合1.2节提出的三种破坏状态和对应的失效指标，可以得到钢桁拱桥体系在典型吊索断裂工况下的连续倒塌易损性曲线，如图13所示。H2、H6和H7吊索猝断下，荷载系数一定时，超越SP性态的概率最大，超越CP性态和SI性态的概率依次减小。
本文对钢桁拱桥在三种典型吊索断裂工况下的连续倒塌易损性进行了研究，得到了不同吊索断裂工况下体系超越不同极限状态的概率，并研究了不同吊索断裂工况下影响结构正常使用、超过我国规范规定值以及结构体系发生连续倒塌的发展规律。其中，三种破坏状态中SI性态是为了保证部分构件破坏后整个桥梁体系的完整性，不至于发生连续倒塌，失效指标为荷载系数λ达到λmax的80%时。因此，当荷载系数较大时(本文选取荷载系数为20和30时)，将钢桁拱桥三种典型吊索断裂工况超越SI性态的概率(发生连续倒塌的概率)汇总至表3，可以得到当荷载系数较大时不同吊索断裂工况下体系发生连续倒塌的概率比较。
表 3 连续倒塌概率比较Table 3. Comparison of progressive collapse probability荷载系数λ 吊索的典型断裂工况 超越SI性态概率/(%) 20 H2吊索断裂 30.20 H6吊索断裂 29.47 H7吊索断裂 29.70 30 H2吊索断裂 71.40 H6吊索断裂 68.89 H7吊索断裂 69.44 从表3可以看出，当荷载系数为20时，H2吊索断裂工况钢桁拱桥体系超越SI性态的概率(发生连续倒塌的概率为30.20%)，大于H6和H7吊索断裂工况钢桁拱桥体系超越SI性态的概率(发生连续倒塌的概率，分别为29.47%和29.70%)；当荷载系数为30时，H2吊索断裂工况钢桁拱桥体系超越SI性态的概率(发生连续倒塌的概率为71.40%)，大于H6和H7吊索断裂工况钢桁拱桥体系超越SI性态的概率(发生连续倒塌的概率，分别为68.89%和69.44%)。本案例中，钢桁拱桥中短吊索断裂引起结构体系发生连续倒塌的概率大于长吊索，因此，本案例中钢桁拱桥服役年限内应重点关注短吊索的损伤破坏，短吊索也是全寿命周期的维养重点。
3.6 时变连续倒塌易损性
为了探索在役钢桁拱桥在服役年限内因材料劣化导致结构性能退化情况，本文在上述研究的基础上，结合1.1节钢材和吊索材料的退化模型，在0%~20%内考虑不同的锈蚀率，采用MATLAB调用OpenSEES进行IDA分析，重复上述连续倒塌易损性的分析方法，得到服役年限内不同钢材和吊索锈蚀率下钢桁拱桥超越不同破坏状态的概率，并得到3种不同的时变易损性曲线。以H2吊索断裂工况为例，时变连续倒塌易损性如图14所示。
由图14可见，锈蚀率η为20%时，超越SP性态、CP性态和SI性态的概率最大；锈蚀率η为0%时，超越SP性态、CP性态和SI性态的概率最小；当荷载系数λ一定，锈蚀在0%~20%时，随着锈蚀率η的不断增大，超越SP性态、CP性态和SI性态的概率依次增大。这表明，随着钢桁拱桥服役年限内钢材和吊索不断锈蚀，体系不能保持正常使用，超过规范服役状态以及体系发生连续倒塌的概率不断增加。
综上，从钢桁拱桥三种典型吊索断裂工况下的时变连续倒塌易损性曲线可以看出，钢桁拱桥在全寿命周期的材料劣化问题不能忽视。本文的研究结果表明，随着锈蚀率的增加，会增加超越SP性态、CP性态和SI性态的概率，换言之，在服役年限内钢桁拱桥体系在典型吊索断裂工况下，连续倒塌的概率会随钢材和吊索的劣化程度不断增大。因此，应在全寿命周期合适时间，给在役钢桁拱桥制定相应的维养加固措施；在役钢桁拱桥在服役年限内的时变连续倒塌易损性监测，可为桥梁维养提供前置数据，可据此提供合适的维养策略。
4 结论
本文基于等效卸载的AP法模拟吊索猝断下应力波的传递与叠加效应，建立了吊索猝断下钢桁拱桥体系时变连续倒塌易损性评估方法，提出了一种高效精确的时变体系连续倒塌数值模拟方法，开展了吊索猝断下钢桁拱桥的连续倒塌易损性分析，研究了材料劣化及劣化位置不均匀性对吊索猝断下体系抗连续倒塌性能的影响规律。具体结论如下：
(1) 基于MATLAB/OpenSEES编制了单元纤维的时变演化参数组管理程序，基于纤维宏单元建立了考虑材料非均匀劣化的时变体系连续倒塌数值模拟方法，采用经典的动力试验验证了数值模型的精度，表明该模型可以高效精确地用于钢桁拱桥在吊索猝断下的时变抗连续倒塌性能分析。
(2) 通过对恒载和恒活载作用下典型吊索断裂工况的连续倒塌分析发现，吊索猝断会使钢桁拱桥主要受力构件(如主梁、拱肋和相邻吊索)响应增大，其中短吊索猝断对构件响应的影响大于长吊索，且吊索猝断相邻范围内受影响最大。
(3) 恒活载作用下典型吊索断裂工况的连续倒塌IDA分析表明，当荷载系数达到一定的阈值，钢桁拱桥会发生连续倒塌。
(4) 基于IDA法的时变连续倒塌模型可高效评估钢桁拱桥服役年限内的抗连续倒塌性能。对三种典型吊索猝断工况下的连续倒塌易损性对比分析表明：短吊索断裂更容易引起钢桁拱桥体系发生连续倒塌，应该在服役年限内重点关注和避免短吊索在腐蚀疲劳等作用下的断裂。
(5) 通过在0%~20%内考虑不同的锈蚀率来对在役钢桁拱桥的时变连续倒塌易损性分析发现，材料劣化会降低钢桁拱桥体系的抗连续倒塌能力。应在服役年限内采取维养策略来减缓材料的劣化进程，进而减小结构发生连续倒塌的概率。
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图 7 H2、H6和H7吊索断裂相邻吊索应力值
Figure 7. Stress of adjacent hanger due to H2, H6, and H7 hanger fracture
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图 8 H2、H6和H7吊索断裂锚固点动力响应
Figure 8. Dynamic response of anchor points due to H2, H6, and H7 hanger fracture
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图 9 H2、H6和H7吊索断裂剩余吊索最大应力和应力增量
Figure 9. Maximum cable force of remaining hanger due to H2, H6, and H7 hanger fracture
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图 10 H2、H6和H7吊索断裂主梁最大拉压应力
Figure 10. Maximum tensile and compressive stress of the main beam due to H2, H6, and H7 hanger fracture
表 1 破坏状态及失效指标
Table 1 Damage states and failure indicators
破坏状态 失效指标 SP性态(Serviceability prevention) 1/800 CP性态(Collapse prevention) 1/250 SI性态(System instability) 80%λmax 
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表 2 概率倒塌需求模型
Table 2 Probability collapse demanding model
吊索的典型断裂工况 概率倒塌需求模型 R2 H2吊索断裂 ln(μ)=1.3369ln(λ)−4.4927 0.9652 H6吊索断裂 ln(μ)=1.2733ln(λ)−4.3168 0.9673 H7吊索断裂 ln(μ)=1.2842ln(λ)−4.3279 0.9669
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表 3 连续倒塌概率比较
Table 3 Comparison of progressive collapse probability
荷载系数λ 吊索的典型断裂工况 超越SI性态概率/(%) 20 H2吊索断裂 30.20 H6吊索断裂 29.47 H7吊索断裂 29.70 30 H2吊索断裂 71.40 H6吊索断裂 68.89 H7吊索断裂 69.44
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