钢纤维增强水泥基复合材料(Steel Fiber-Reinforced Cementitious Composite，SFRCC)相比于普通水泥基材料有更好的抗拉抗剪强度、延性、韧性、耐磨性和抵抗裂缝扩展等能力，因此在道路、桥梁、隧道以及水利工程地下洞室结构中被广泛应用^{[1 − 6]}。

实际施工过程中，材料质量、施工工艺、环境因素等都会影响水泥基材料的均匀程度，且钢纤维在水泥基体中一般乱向分布，导致SFRCC力学性能有离散性，降低材料利用率^{[7 − 8]}。室内试验对材料的非均质问题难以定量分析，而数值模拟方法能利用分布统计函数实现材料力学性质的随机赋值，并从细观尺度上反映加载变化的全过程，对分析材料非均质问题起到了重要作用^{[9 − 10]}。研究表明：水泥基材料各相力学性质服从Weibull分布，该分布可用Weibull分布密度函数表示，分布密度函数中形状参数m定义了分布密度函数的形状，其物理意义反映了水泥基材料的均质程度，因此m也被称为材料的均质度^{[11 − 15]}。基于Weibull分布，国内外学者针对水泥基材料的非均质问题开展了一系列数值模拟研究。

在其它条件不变的情况下，材料的均质度m取值越大，材料越均匀，其破坏形式越规则^[16]。唐春安等^[17]考虑了水泥基材料各相力学性质分布的随机性和初始缺陷的随机性提出随机力学特征模型，该模型的模拟结果与试验结果有较好的一致性。朱万成等^[11]基于随机力学特征模型，改变砂浆基质与骨料之间界面过渡区的均质度m，证实了界面过渡区的力学性质对水泥基材料的破坏起重要作用。唐欣薇等^[18]采用弥散式损伤裂缝模型进行分析，认为材料的非均质性表现为力学性能的离散性与强度的差异性。WESSLING等^[19]结合离散元法提出了一种非均质脆性材料数值模拟方法，证明了裂缝的起裂和扩展高度依赖于水泥基材料的非均质水平和强度。可见，均质度m的改变对数值模拟中水泥基材料的力学性质及损伤演化规律有重要影响。

此外，当拉应力方向与钢纤维分布方向基本一致时，钢纤维才会发挥出对基体的桥接作用^{[20 − 23]}。因此，需要通过外加手段来改变钢纤维的分布方向^{[24 − 25]}。当前研究中主要以平均方向效应系数η_θ来表示钢纤维在水泥基体中的分布情况，η_θ是指材料内部所有纤维沿指定方向的投影长度与纤维总长度的比值，其范围在0~1之间^[21]。对于SFRCC的模拟，MONTERO-CHACÓN等^[26]建立了定向分布的钢纤维混凝土晶格-颗粒模型，该模型适用尺度较广且为SFRCC的模型设计提出了新思路；毕继红等^[27]建立了随机分布钢纤维混凝土的弥散开裂本构模型；卿龙邦等^[28]通过黏聚裂纹模型，可模拟带预制裂缝的定向SFRCC三点弯曲梁失效过程；KAN等^[29]利用扩展有限元法开展钢纤维定向分布的混凝土梁四点弯曲试验模拟；覃源等^[21]基于参数化语言，建立二维定向SFRCC模型，模拟了SFRCC单轴拉伸破坏的全过程；SARRAZ等^[30]采用刚体弹簧元法建立了考虑纤维形状和分布方向的钢纤维混凝土模型，该模型对拉伸与弯曲荷载下钢纤维混凝土的力学行为有较高的预测精度。

由此可见，学者们对水泥基材料的非均质性和钢纤维空间分布问题已经取得了一定成果，但是将二者综合考虑，从细观层面分析水泥基材料均匀程度对SFRCC的损伤演化影响问题值得继续关注和深入探索。本文基于当前情况，利用参数化语言，通过蒙特卡罗法完成钢纤维的随机投放工作，结合Weibull分布密度函数建立随机力学特征模型，实现材料细观力学性质的随机赋值，探究在不同的钢纤维空间分布下，改变材料均质度m对SFRCC拉伸损伤演化规律的影响。

1   数值模型的建立

1.1   模型基本参数

本文建立了由水泥砂浆基体、钢纤维和界面过渡区组成的二维SFRCC模型。模型试件尺寸为150 mm×150 mm；选用长度30 mm、直径0.3 mm的直、圆、短钢纤维作为增强材料，数量为25根，体积率为1%；界面过渡区厚度为0.2 mm，可视为包围钢纤维的矩形平面；平均方向效应系数η_θ取0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、0.96^[31]，η_θ指水泥砂浆基体内部所有钢纤维沿拉应力方向的投影长度与钢纤维总长度的比值。模型的各相材料力学参数见表1^[32]。

1.2   非均质模型的建立

由于多相介质材料的随机及各相材料自身性质随机的双重特性，因此SFRCC在受到外力作用时的力学行为具有不可避免的随机性^[33]。引入Weibull分布密度函数^[34]，建立随机力学特征模型确定各相材料细观单元的取值，从而实现各相材料初始力学参数服从Weibull分布。Weibull分布密度函数见式(1)。

式中：u为满足该分布参数的数值(本文定义了水泥砂浆基体、界面过渡区的弹性模量)；u₀为与所有单元参数平均值有关的参数，但其数值并非平均值；m为材料均质度(本文定义了水泥砂浆基体、界面过渡区的均质度)，反映u的离散程度。

表  1  各相材料力学参数^[32]

Table  1.  Mechanical parameters of each phase material^[32]

材料	弹性模量 E/GPa	泊松比 μ	密度ρ/ (kg/m3)	抗拉强度 $\overline f$/MPa	残余应变 系数$\eta$	极限应变 系数$\xi$
基体	37	0.22	2400	9.5	4	10
界面	30	0.22	2300	9.0	3	10
钢纤维	210	0.30	7800	−	−	−

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采用遍历法利用Weibull分布对材料力学参数进行赋值^[35]。首先，将力学参数值序列{u}划分为k个连续系列区间，并将模型试件视为N个细观单元，每个系列区间存在n_i个细观单元(N=n₁+n₂+…n_k)，建立式(2)的概率抽样标尺。从式(2)可以看出，概率抽样标尺的范围在0~1之间。然后，任意选取一个细观单元i，在区间[0,1]上根据RAND(0,1)函数生成一个随机数X，而X对应一个力学参数的系列区间。通过Weibull分布密度函数在该系列区间上随机选出一个力学参数u赋给之前选取的细观单元i，实现为每一个单元赋值。

由于Weibull分布密度函数不单调，为使选取的随机数X有其对应的一个力学参数C_i，需对Weibull分布密度函数进行积分，得到积分函数见式(3)、式(4)。以参数均值u₀为30 GPa，均质度m为1.5、3、6、10、20为例，将得到的积分函数绘制于图1中。从图1可以看出，函数曲线具有单调性，且每一个随机数X均有一个力学参数C_i与其对应。

图  1  Weibull分布密度函数的积分函数

Figure  1.  Integral function of Weibull distribution density function

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由于SFRCC中水泥砂浆基体与界面过渡区力学性质的离散性远大于钢纤维，因此本文假定水泥砂浆基体与界面过渡区的力学参数以单元为单位服从Weibull分布，钢纤维视为力学参数相同的均质材料。为分析不同均质度下SFRCC的细观力学性能，假定水泥砂浆基体与界面过渡区力学性质的离散性相同且非均质性只针对材料的弹性模量^[36]。以界面过渡区的弹性模量平均分布值u₀=30 GPa，100个细观单元为例，获得不同均质度下界面过渡区的单元力学参数C_i分布(见图2)。从图2可以看出，均质度m越大，曲线的波动越小，力学参数C_i越接近平均分布值u₀，材料力学性质的离散性越小。由于力学参数在均质度m=20时已非常接近u₀，故均质度m最大考虑20。因此，建立水泥砂浆基体和界面过渡区在均质度m为1.5、3、6、10、20下的SFRCC二维模型。进行数值模拟时，均质度m和平均方向效应系数η_θ的取值情况见表2。

图  2  细观单元弹性模量的取值

Figure  2.  Values of elastic modulus of mesoscopic elements

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表  2  η_θ和m取值汇总表

Table  2.  Summary table of values for η_θ and m

ηθ	材料	m1	m2	m3	m4	m5
0.5	基体	1.5	3	6	10	20
	界面	1.5	3	6	10	20
	钢纤维	−	−	−	−	−
0.6	基体	1.5	3	6	10	20
	界面	1.5	3	6	10	20
	钢纤维	−	−	−	−	−
0.7	基体	1.5	3	6	10	20
	界面	1.5	3	6	10	20
	钢纤维	−	−	−	−	−
0.8	基体	1.5	3	6	10	20
	界面	1.5	3	6	10	20
	钢纤维	−	−	−	−	−
0.9	基体	1.5	3	6	10	20
	界面	1.5	3	6	10	20
	钢纤维	−	−	−	−	−
0.96	基体	1.5	3	6	10	20
	界面	1.5	3	6	10	20
	钢纤维	−	−	−	−	−

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基于蒙特卡罗和布尔运算实现钢纤维随机投放，保证钢纤维在模型中位置与方向的随机性，一方面满足钢纤维平均方向效应系数取值的要求，另一方面保证钢纤维不与模型边界相交且相互之间不重叠^[31]。采用材料特征单元尺度进行网格剖分，建立单元内各向同性、单元间性质各异的等效化模型。图3给出了在均质度m=6时的Weibull分布样本，浅灰色单元代表小于均值u₀的参数分布，白色单元代表趋近均值u₀的参数分布，黑色单元代表大于均值u₀的参数分布。当均质度m越大时，白色单元越多，浅灰色和黑色单元越少，这表示单元分布越趋近于u₀。

图  3  水泥砂浆相Weibull分布样本(m=6)

Figure  3.  Sample of Weibull distribution of cement mortar phase (m=6)

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2   细观单元损伤本构模型的建立

在SFRCC数值模拟中，用单元失效的方法来模拟试件中裂缝产生、演化直至断裂的过程。当单元达到失效准则时，单元退出计算。采用最大拉应力破坏准则为损伤准则^[34]，如式(5)所示：

式中：${\varepsilon _{{\text{tmax}}}}$为细观单元的最大拉伸主应变；${\varepsilon _{\text{t}}}$为细观单元的拉伸损伤应变阈值。

由于钢纤维在加载过程中通常不会破坏，其本构行为认为是线弹性。根据Lemaitre应变等效原理^[37]，损伤材料的本构关系用无损材料的名义应力-应变关系表示，如式(6)所示：

式中：$\overline E$为损伤后弹性模量；E₀为初始弹性模量；D为损伤因子，介于0~1之间。$D = 0$对应材料无损伤状态；$0 < D < 1$对应材料不同程度的损伤状态；D=1对应材料的完全损伤状态。

本文采用双折线损伤本构模型^{[38 − 39]}，适用于水泥砂浆基体和界面过渡区。定义损伤因子和弹性模量的折减公式见式(7)和式(8)^[31]：

式中：${\varepsilon _{{\text{tmax}}}}$为加载过程中细观单元的最大主拉应变；${\varepsilon _{\text{t}}}$为峰值抗拉强度对应的应变；${\varepsilon _{\text{r}}}$为残余应变(${\varepsilon _{\text{r}}} = \eta {\varepsilon _{\text{t}}}$)；$\eta$为残余应变系数，$1 < \eta {\leqslant} 5$；${\varepsilon _{\text{u}}}$为极限拉应变(${\varepsilon _{\text{u}}} = \xi {\varepsilon _{\text{t}}}$，$\xi$为极限应变系数)；$\lambda$为残余强度系数，$0 < \lambda {\leqslant} 1$。

结合上述弹性模量折减的公式，将损伤材料的弹性模量演化过程表述如图4所示。细观单元力学行为的双折线损伤本构模型如图5所示，其中f_t为各相细观单元的抗拉强度，f_tr为拉伸残余强度。Weibull分布和双折线损伤本构的程序化操作过程见图6。

图  4  损伤材料弹性模量随应变变化关系图

Figure  4.  Relationship between the elastic modulus of damaged materials and strain

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图  5  各相细观单元材料的本构模型^[31]

Figure  5.  Constitutive models of mesoscopic unit materials for each phase

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图  6  Weibull分布和双折线损伤本构程序化操作流程图

Figure  6.  Weibull distribution and dual line damage constitutive programming operation flowchart

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3   数值模拟分析

3.1   数值模型验证

建立二维SFRCC模型，Plane42单元，采用自由网格匹配三角形方式对模型进行单元划分。在模型顶部施加加载步长为1/1000 mm的位移荷载来模拟准静态力的加载，模型底部节点施加竖向约束并固定底部中心节点，图7为模型加载示意图。

图  7  模型加载示意图

Figure  7.  Schematic diagram of model loading

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从图8中可以看出，数值模拟得到的应力-应变曲线与文献[32]中模拟曲线接近，曲线峰值点处数据相差不大，而曲线上升段和下降段略有偏差，这可能是源于材料非均质性的影响。该对比结果验证了本文建立的二维SFRCC模型的可靠性。

图  8  对比验证的应力-应变曲线示意图

Figure  8.  Schematic diagram of stress-strain curve for comparative verification

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3.2   力学性能分析

3.2.1   应力-应变曲线分析

图9中6组不同η_θ的SFRCC试件应力-应变曲线的变化规律均符合SFRCC宏观应力-应变全曲线的破坏规律，依次经历了线弹性阶段，非线性阶段，下降软化阶段以及裂缝贯通断裂阶段^[40]。

在η_θ相同时，随着均质度m增大，线弹性阶段和非线性阶段曲线斜率增大且峰值点上升，这表明增大m会提升试件的弹性模量，对SFRCC试件的抗拉强度起促进作用。以η_θ=0.5的试件组为例，峰值应力从7.56 MPa提高到10.53 MPa，提高了39.3%，峰值应变从2.4×10⁻⁴提高到2.8×10⁻⁴，提高了16.7%。

在下降软化阶段，随着m的增大，曲线下降段逐渐右移且越来越陡，应力急剧下降，应变继续增加，宏观上表现为试件的裂缝迅速发展，试件逐渐失去承载能力。在裂缝贯通断裂阶段，随着m的增大，残余应力的变化并不明显，但残余应变增大。

对于η_θ＝0.9和η_θ＝0.96的试件组，因为钢纤维发挥桥联作用显著，所以下降软化阶段和裂缝贯通断裂阶段曲线的包络面积均大于其余几组试件，钢纤维在该空间分布情况下能有效改善峰值点后试件的塑性性能。与此同时，这两组试件应力-应变曲线比较相近，说明在η_θ＞0.8时，η_θ的继续增大对SFRCC的力学性能的增强作用不再显著。

图  9  不同均质度下的SFRCC试件应力-应变曲线

Figure  9.  Stress-strain curves of SFRCC specimens under different homogeneities

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3.2.2   峰值应力分析

将均质度m、平均方向效应系数η_θ与峰值应力绘制于图10。保持η_θ相同，可以看出各组试件的峰值应力大小关系从m=1.5~m=20依次增大，峰值应力与m的变化呈正相关。以η_θ=0.5为例，峰值应力随m的增幅为：1.5 MPa，1.03 MPa，0.39 MPa，0.11 MPa，且峰值应力的增幅随着均质度m增大逐渐减小。保持m相同，各组试件的峰值应力大小关系从η_θ=0.5~η_θ=0.96依次增大。以m=1.5为例，峰值应力随η_θ的增幅为：0.03 MPa、0.25 MPa、0.52 MPa、0.78 MPa、0.19 MPa，表明η_θ的增长对试件的峰值应力起到了促进作用，且在η_θ＞0.8时出现较大增幅。图10中也可以直观看出，η_θ=0.5，m=1.5的SFRCC试件峰值应力最小；η_θ=0.96，m=20的SFRCC试件峰值应力最大。从图10中峰值应力的发展趋势来看，均质度m和平均方向效应系数η_θ同时增大对峰值应力起叠加增强作用。

图  10  平均方向效应系数、均质度与峰值应力统计图

Figure  10.  Statistical diagram of average directional effect coefficient, homogeneity, and peak stress

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以均质度m=1.5为基准，计算出其它m下峰值应力的累积变化率绘于图11。η_θ相同时，随着m增大，峰值应力变化率逐渐减小，但累积变化率持续增大。如η_θ=0.5的试件组，应力依次提高：19.4%、11%、3.9%、1.1%，这说明均质度m的增大对峰值应力的提高有促进作用，但影响逐渐减弱。

根据图11中曲线可以看出，对于η_θ≤0.8的试件组，在m＜6的范围内曲线的增速较快，而在m＞6的范围内曲线增速减缓；对于η_θ＞0.8的试件组，在m＜3的范围内曲线的增速较快，而在m＞3的范围内曲线增速减缓。各试件组包络面积的大小关系从η_θ=0.5~η_θ=0.96逐渐减小，η_θ=0.5的试件组对m的变化最敏感，η_θ=0.96的试件组对m的变化最不敏感，这表明钢纤维平均方向效应系数η_θ的增大会降低均质度m对SFRCC试件峰值应力的影响能力。

图  11  不同均质度下峰值应力的变化率及累积变化率统计图

Figure  11.  Statistical chart of peak stress change rate and cumulative change rate under different homogeneities

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3.2.3   峰值应变分析

将均质度m、平均方向效应系数η_θ与峰值应变绘制在图12中。保持钢纤维的空间分布相同，各组试件的峰值应变大小关系基本都随着m的增大而增大，但是促进作用逐渐减弱，到η_θ＞0.8时，各组试件峰值应变相差不大。对于m=1.5和m=3的试件组，在η_θ从0.8上升到0.9时，峰值应变有较大增长，其余m下峰值应变增长并不明显。

图  12  平均方向效应系数、均质度与峰值应变统计图

Figure  12.  Statistical chart of average directional effect coefficient, homogeneity, and peak strain

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图13中绘制了以均质度m=1.5的峰值应变为基准水平计算出的其它m下的峰值应变变化率。从图中曲线可以看出，η_θ≤0.8的SFRCC试件组随m的变化明显，η_θ＞0.8的SFRCC试件组随m的变化微弱。以η_θ=0.5为例，峰值应变最高增长16.7%，而在η_θ=0.96的空间分布下，峰值应变最高增长7.3%。这是因为随着均质度m的增大，虽然试件强度增长，但是脆性也相应增大，影响了钢纤维发挥作用^[41]。

图  13  不同均质度下峰值应变的变化率及累积变化率统计图

Figure  13.  Statistical diagram of peak strain change rate and cumulative change rate under different homogeneities

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3.2.4   软化区间长度分析

为了探究均质度m与钢纤维平均方向效应系数η_θ对SFRCC试件峰值应力后力学行为的影响，计算了各组试件下降软化阶段的长度即软化区间长度并绘制于图14。可以看出，η_θ≤0.8的SFRCC试件组软化区间长度随着m增大而逐渐减小，而η_θ＞0.8的SFRCC试件组软化区间长度随着m增大而逐渐增大。m≤3的SFRCC试件组在不同η_θ下的软化区间长度变化规律并不明显；m＞3的SFRCC试件组在不同η_θ下得到的软化区间长度基本呈现增长趋势，这种趋势在η_θ＞0.8之后更加明显。

以m=1.5为基准绘制不同均质度m下软化区间的变化幅度及累积变化幅度于图15。η_θ≤0.8的SFRCC试件组的软化区间长度随着m的增大逐渐减小，说明在该钢纤维的空间分布下，m增大使得材料力学性质的离散性越小，同时使材料脆性性能提升，韧性性能降低^[42]，试件迅速产生破坏。η_θ＞0.8的SFRCC试件组的软化区间长度会随着m的增大而逐渐增大，说明在该钢纤维的空间分布下，钢纤维的定向增强效果超过了m对SFRCC试件力学性能的负作用。

图  14  平均方向效应系数、均质度与软化区间长度统计图

Figure  14.  Statistical chart of average directional effect coefficient, homogeneity, and softening interval length

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图  15  不同均质度下软化区间的变化幅度及累积变化幅度统计图

Figure  15.  Statistical diagram of the change amplitude and accumulated change amplitude of the softening interval under different homogeneities

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上述分析看出，η_θ=0.8是均质度m对软化区间长度发挥作用的转折点，η_θ≤0.8的试件组，应力软化区间的长度与均质度m负相关；η_θ＞0.8的试件组，应力软化区间的长度与均质度m正相关。

3.3   拉伸损伤特性分析

为探究均质度m对SFRCC细观单元损伤开裂的影响，提取不同m下SFRCC试件的砂浆单元与界面单元随应变发生的累积损伤数量绘制于图16。由图16可知，各组试件的界面单元先于砂浆单元出现损伤，且二者累积损伤曲线趋势相似，均表现为最初无损、损伤加剧、损伤稳定三个阶段。随着η_θ的增大，界面单元的损伤数量逐渐减少，砂浆单元的损伤数量逐渐增多。随着m和η_θ的增大，SFRCC试件出现初始损伤的时间相应延迟。

图  16  细观单元累积损伤数量曲线

Figure  16.  Cumulative damage quantity curve of microscopic elements

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η_θ≤0.8时，随着η_θ的增大，界面单元的累积损伤数量初始远大于砂浆单元的累积损伤数量，然后逐渐减小并几乎与砂浆单元的累积损伤数量相等，砂浆单元的累计损伤数量随η_θ变化不大。因为钢纤维此时分布处于无序状态，有结团聚集现象，并且界面单元弹性模量小，所以易在界面处发生破坏。随着m增大，界面单元曲线上升段的斜率也逐渐增大，砂浆单元曲线上升段斜率基本不变。在曲线上升阶段，界面单元与砂浆单元均出现快速集中大量破坏。在η_θ=0.5和η_θ=0.6时，随着m的增大，总的单元损伤数量增多，说明均质度m增大时，对SFRCC的韧性有减弱效应，破坏程度加剧。

η_θ＞0.8时，随着η_θ的增大，砂浆单元的累积损伤数量持续增多并超过界面单元的累积损伤数量。在该空间分布下，钢纤维的定向作用显著提高，使得砂浆单元的破坏数量多于界面单元。随着m增大，界面单元的累积损伤数量持续减少，曲线斜率逐渐减小；砂浆单元的累积损伤数量逐渐增加，曲线斜率逐渐增大。例如：η_θ=0.96的试件，随着m的增长，砂浆单元累积损伤数量与界面单元累积损伤数量的比值分别为：1.26、1.65、4.55、3.17、7.48。

通过上述分析说明，均质度m的增大在促进SFRCC试件强度增长的同时对韧性有消极作用，但是η_θ的增大会减弱均质度m增大带来的不利影响^[43]。此外，可用界面单元的损伤情况反映SFRCC的宏观力学性能：当界面单元的累积损伤数量越少，损伤曲线上升段斜率越小时，SFRCC的强度和韧性越好，反之则强度和韧性越差。

4   结论

本文基于参数化设计语言编写运算流程，考虑水泥基材料的非均质性和钢纤维的空间分布，利用Weibull分布密度函数实现材料力学性质的随机赋值，建立二维定向SFRCC随机力学特征模型。从细观层面模拟不同均质度下的定向SFRCC单轴拉伸试验，讨论了改变材料均质度m和平均方向效应系数η_θ对SFRCC试件单轴拉伸破坏的影响，分析了力学性能及拉伸损伤特性的变化规律。研究主要结论如下：

(1)材料均质度m与SFRCC的力学性能密切相关。保持其它条件不变，随着均质度m增大，材料的力学性质越均匀，单轴拉伸强度越大。均质度m与平均方向效应系数η_θ同时增长对SFRCC单轴拉伸强度起叠加增强的效果，但钢纤维空间分布越无序，均质度m对SFRCC单轴拉伸强度的影响越显著。

(2)钢纤维平均方向效应系数η_θ=0.8为均质度m对SFRCC力学性质起主导作用的转折点。η_θ≤0.8时，m的增长对峰值应力和峰值应变的促进作用显著，应力软化区间长度与m的增长负相关；η_θ＞0.8时，m的增长对峰值应力和峰值应变的促进作用减弱，应力软化区间长度与m的增长正相关。

(3)均质度m的增大使水泥基材料强度增长，同时使材料脆性性能提升，韧性性能降低，但钢纤维平均方向效应系数η_θ的增大会减弱均质度m增大带来的不利影响。