多孔材料在自然界中普遍存在，如岩石、软木、海绵和珊瑚等^{[1 − 2]}。这些天然的多孔材料多年来被人们大量利用^{[3 − 4]}。近代以金属、陶瓷、聚合物为代表的人工多孔材料被大量制造，如利用孔型可控性能制成的分子筛，被用作高效气体分离膜、可重复使用的特殊过滤渗透装置等均在工业领域被广泛使用。这些多孔材料工作时，涉及到液滴在多孔材料表面铺展润湿^[5]、渗流^[6]和吸附^[7]等行为。因此，研究液滴^[8]在多孔材料中的渗透和铺展过程^{[9 − 11]}可以为工业生产和工程领域应用提供理论支撑。

STAROV等^[12]对硅油滴在各种干燥微滤膜上的扩散进行了实验，监测了液滴在多孔层内的扩散过程。REIS等^[13]数值研究了液滴撞击多孔介质过程中的流体动力学现象，分析了一系列控制参数对液滴流动特性的影响。DANIEL等^[14]研究了含表面活性剂的液滴在多孔介质上的扩散和渗透，并分析了表面活性剂浓度对上述过程的影响，研究表明液滴在多孔表面的动力学行为本质上是液滴渗入多孔介质和液滴在多孔表面润湿铺展的流动过程。KIM等^[15]通过烧制不同尺寸的玻璃珠，制备了四种具有不同表面粗糙度和渗透性的多孔材料，研究了液滴撞击受热多孔表面的流体动力学行为。LEE等^[16]使用高速成像实验确定三种天然多孔石头上的液滴冲击和扩散，并将其与不可渗透表面上的流动行为进行比较。上述研究对多孔表面上的液滴动力学行为进行了实验研究，但仅靠实验研究较难捕捉液滴在多孔介质内的详细流场特征，需要借助数值模拟方法来描述多孔介质内的渗流现象。

ALLEBORN等^[17]对液滴在各向异性层状多孔基材上的扩散和吸附进行了数值研究。REIS等^[18]分析了液滴撞击多孔介质的冲击/吸收动力学。FRANK等^[19]研究了多孔介质表面的液滴扩散和毛细管吸收，数值结果表明：液滴的润湿区半径随时间呈幂律演变，液滴高度的时间演变源于多孔介质中纯扩散和块状毛细管吸收之间的竞争。CHOI等^[20]使用水平集方法研究了初始液滴半径、冲击速度、接触角、颗粒尺寸和孔隙率对液滴扩散和渗透的影响。

考虑到温度场对于液滴渗流行为的影响，BERBEROVIC等^[21]采用仿真的方法研究了液滴撞击热壁面的流体流动和传热过程，发现固液界面的温度分布对固体壁面的传热影响较小。叶学民等^[22]对液滴铺展换热行为进行了数值计算，计算结果显示运动液滴壁面热通量的倒数呈单峰分布。吴苏晨等^[23]基于格子Boltzmann方法建立液滴撞击热壁面的模型，主要研究了壁面温度和韦伯数对相变行为的影响。VILLEGAS等^[24]通过水平集方法对液滴在莱顿佛洛斯特温度之上的撞击动力学传热传质过程进行了数值模拟。刘联胜等^[25]采用CLSVOF方法，探究不同壁面温度下液滴的初始速度、直径对液滴铺展特性以及换热特性的影响，并分析液滴铺展系数以及热流密度的变化趋势。这些研究中涉及的热壁面多为实体不可渗透表面，对液滴在加热多孔表面动力学行为的研究还较为少见。

综上所述，已有研究为描述和理解液滴在多孔介质上的动力学行为提供了重要信息。而有关热场作用下液滴在多孔材料中铺展和渗透动力学性能的研究尚不充分，液滴在多孔材料中热流耦合机理未被充分揭示。本文结合流体力学和传热学建立多孔材料表面液滴渗流动力学模型，分析热场作用下液滴渗流的形态变化，探讨液滴在多孔材料中的渗透和铺展行为，研究多孔表面温度对液滴渗流动力学性能的影响。研究结果为更好地认识液滴在多孔材料表面的铺展与渗透机理以及多孔表面功能设计提供理论依据。

1   数值模型计算方法

1.1   模型建立

液滴在加热多孔材料中的渗透过程中涉及到气液两相界面的捕捉以及热质传递问题。在求解液滴渗流问题时，建立多孔材料数值模型将很好的描述多孔材料对流体的黏性阻力和惯性阻力的作用。建立如图1所示液滴渗透多孔材料的物理模型，假设液滴在渗透初始阶段形态为球形，初始半径r₀=1 mm，在重力加速度g作用下以一定的速度与多孔材料表面接触，初始速度v₀=1 m/s。虚线区域是计算域，x轴被定义为空气和多孔材料之间的界面，y轴是对称轴。空气定义在x轴上方，其下方是多孔材料。引入R和H两个参数来描述液滴在多孔材料上的动力学行为，如图1所示。这里，R为液滴在多孔材料表面上的铺展半径，H为液滴进入多孔材料的渗透深度。

图  1  液滴渗透多孔材料的物理模型

Figure  1.  Physical model of droplet penetration into a porous material

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1.2   控制方程

液滴流动由多孔材料内外的动量和质量守恒方程控制。多孔材料内流体流动的控制方程与传统的动量方程和连续性方程的不同之处在于，多孔材料复杂的内部结构影响流体流动过程，需要考虑由于孔隙结构而引起的粘性摩擦力。

多孔材料外部流体流动的控制方程如下：

动量守恒方程为：

式中：u为速度矢量；ρ_f为流体密度；p为流体压力；I为单位矩阵；g为重力加速度；σ为表面张力系数；μ为流体动力黏度；c_p,f为流体的比热容；T为温度；t为时间；k_f为流体导热系数。

多孔材料内部流体流动的控制方程采用以下形式：

动量守恒方程为：

能量守恒方程为：

式中：$\overline \nabla$为宏观梯度算子；ρ_f为流体密度；u_D为速度矢量；$\lambda$为传热系数；c_p为流体的比热容；S_h为能源项；P_D为孔隙流体压力；ε为多孔介质的孔隙率；K为多孔材料的渗透率；C为惯性因子；μ_r为相对黏度；ρ_s为多孔材料的密度；c_p,s为多孔材料的比热容；k_s为多孔材料的导热系数；B为由于固体颗粒的存在而产生的每单位体积的总阻力(阻力)。

根据Ergun方程^[26]可知，多孔材料的渗透率K和惯性因子C与孔隙度ε和平均颗粒直径d_p有关：

多孔材料表面是流体区域与多孔区域的交界面，属于传热学第一类热边界条件Dirichlet边界，即：

式中，T₀为多孔材料的初始温度。在该边界条件下，多孔材料的表面温度T_p为定值且不随时间t变化而变化。

毛细管压力取决于毛细管的尺寸以及液体和固体颗粒之间的接触角。因此，毛细管压力可以写成：

式中：σ为表面张力系数；θ为静态平衡接触角；d_p为平均颗粒直径。

1.3   两相流的界面跟踪方法

两相流动主要受界面张力的影响。为了正确地表达界面张力，必须给出界面的曲率，以跟踪两相运动界面。采用基于欧拉系统的体积跟踪方法对两相界面进行跟踪。通过引入指定的函数(体积分数)，基于体积跟踪方法的流体体积方法可以在不改变网格的情况下重建界面，从而可以更准确地跟踪液体-空气两相界面的拓扑结构。在水平集方法中，首先将液滴定义为追踪区域，体积分数C为单元控制体内追踪相的体积百分比，其值为0代表气体，其值为1代表液体，其值处于0和1之间时，处于两相界面上。体积分数的传输方程为：

采用水平集方法进行几何建模和网格划分，将计算物理模型简化为6 mm×6 mm的二维轴对称平面，网格为自由三角形网格划分，上边界为压力入口边界，下边界为压力出口边界，空气与多孔材料交界面为内部边界。

1.4   计算可行性验证

为验证1.3节数值方法在计算液滴渗流行为的可行性，对文献[27]中的液滴渗流实验方案进行验证，采用相同参数将上述数值模型与该实验进行数值仿真验证，如图2所示。

图  2  液滴在多孔材料中渗流动力学实验^[27]和模拟结果对比

Figure  2.  Comparison of the seepage dynamics experiment of droplets in porous materials^[27]and simulation results

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图2中：在0 ms~1.0 ms，液滴在多孔材料表面快速沿径向铺展；在1.0 ms~2.4 ms，液滴渗透多孔材料，同时缓慢沿径向铺展，各时刻下的实验结果和数值模拟结果基本一致。将数值仿真和实验获得液滴铺展半径随时间的变化曲线进行对比如图3所示，数值模拟与实验结果吻合较好，该数值模型可以准确模拟液滴的渗流过程。

图  3  液滴铺展半径在不同时间下的仿真和实验结果对比

Figure  3.  Comparison of simulation and experimental results of droplet spreading radius at different times

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1.5   网格无关性验证

1.1节图1为二维轴对称模型形状比较规则，可采用自由三角形网格进行划分。计算域的单元尺寸校准使用系统自带的“超细化”，最大单元尺寸为78 μm，最小单元尺寸为0.9 μm，最大单元生长率为1.08，曲率因子为0.25。

由于液滴的铺展渗透是一个非稳态过程，网格的疏密程度常常对数值计算结果有重要影响，所以需要对网格数量进行无关性检查。在其它条件保持不变的前提下，通过改变网格尺寸大小，对不同网格数量下的计算结果进行对比。由于本文研究的是多孔材料表面液滴的渗透特性，液滴的渗透深度h是一个重要指标，因此选取不同网格数量下液滴渗透深度随时间的变化作为网格无关性检查依据，结果如图4所示。从图4中可以看出，随着网格尺寸不断减小，液滴的渗透深度不断增加并趋向于稳定；网格尺寸过大为2.4 μm时，会影响计算精度，导致计算误差相对过大；网格尺寸过小为0.1 μm时，会增大计算的成本和时间的消耗，所以在保证精度的基础上为了节约计算成本，最终确定网格尺寸为0.9 μm。

图  4  不同网格尺寸下液滴的渗透深度

Figure  4.  The penetration depth of the droplets at different grid sizes

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2   结果和讨论

数值模型中多相介质选用油、水、正庚烷和多孔不锈钢板，其物性参数如表1所示。计算中使用的初始参数为初始速度v₀=1 m/s，初始半径r₀=1 mm，孔隙率ε=0.36。为探究多孔材料物性参数对液滴动力学的影响，基于多孔材料的表面温度T_p对液滴渗透过程以及液滴与多孔材料之间的传热过程进行了数值研究。

表  1  常温工况各相的物性参数

Table  1.  The physical parameters of each phase of the working conditions

名称	油	水	正庚烷	不锈钢
密度$\rho$/(kg·m−3)	820	1000	684	5573
比热容cp/(J·kg−1·K−1)	2196	4182	308	502
热导率k/(W·m−1·K−1)	0.125	0.600	0.122	2.700
黏度$\mu$/(Pa·s)	1.386×10−2	1.27×10−3	7.35×10−4	−
表面张力系数$\sigma$/(N·m−1)	3.2×10−2	2.0×10−2	2.16×10−2	−

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为了获得参数化结果，定义无量纲变量R^*、H^*来表征液滴形状演化，如图5所示。${R^*} = \dfrac{{{r_{{\mathrm{d}}}}}}{{{r_0}}}$为无量纲液滴半径(也就是液滴铺展率)；r_d为液滴的铺展半径；r₀为液滴的初始半径；${H^*} = \dfrac{{{h_{{\mathrm{d}}}}}}{{{r_0}}}$为无量纲渗透深度；h_d为液滴某一时刻的渗透深度。

图  5  定义无量纲变量R^*、H^*

Figure  5.  Define dimensionless variables R^*、H^*

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2.1   液滴渗流形态演变及流场分析

不锈钢多孔材料表面液滴的渗流形态演变如图6所示。在0 ms~1.6 ms时间内，液滴具有初始速度下落，导致液滴下落内部压力快速增加，使液滴与多孔材料接触时快速沿径向铺展，在液滴渗透过程中，毛细管压力和重力为驱动力，孔隙结构中的摩擦力为流动阻力。在1.6 ms~3.2 ms时间内，由于流动阻力不断的增大，液滴渗透趋于缓慢，最终驱动力和阻力平衡时，液滴完成整个渗流过程。

图  6  液滴渗流时的形态演变过程

Figure  6.  The morphologic evolution of liquid droplets during percolation

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图7显示了液滴形状和速度场随时间的变化过程：0 ms时液滴以1 m/s的初始速度开始下落；0.2 ms~0.8 ms时间内，液滴的铺展初期阶段，液滴接触多孔材料表面横向铺展，在初始速度和重力加速度的作用下，液滴在铺展两侧边界点的速度迅速上升；0.8 ms~1.6 ms时间内，铺展两侧边界点处速度到达最大后，速度开始下降，液滴渗透过程中由于多孔材料的内部阻力，渗透区域的液滴速度快速衰减；1.6 ms~3.2 ms时间内，由于流动阻力的不断增大，铺展速度和渗透速度继续减小，液滴渗流缓慢进行，当驱动力和阻力达到平衡时，最终液滴完成渗流过程。

图  7  液滴形状和速度场随时间的变化

Figure  7.  Droplet shape and velocity field over time

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由于流体的粘性效应，导致多孔材料表面对液滴产生阻力作用，使液滴的径向速度随着铺展半径的增加而降低。液滴渗流过程，发生横向铺展的同时，液滴也向多孔材料中渗入。由于孔隙结构的阻力作用，多孔材料内部的渗入速度较小。驱动这种流动的机制主要与多孔材料外部的渗透区域和作用在多孔材料内部的流体界面中的毛细管压力之间的压力差有关。

图8显示了液滴内部压力场随时间的变化过程，0 ms~0.4 ms时间内，在液滴的初始速度和重力加速度的冲击作用下，当液滴接触多孔材料表面时，液滴的内部压力迅速增大，液滴内外会形成较大的压力梯度差。液滴在渗透多孔材料时，由于孔隙结构的毛细管压力，渗透区域内的液滴压力会迅速降低，与多孔材料外部的液滴压力产生相当大的压差。0.4 ms~1.6 ms时间内，随着液滴铺展和渗透过程的进行，多孔材料内部产生的阻力会逐渐增大，渗透速度降低，多孔材料内外的压力也逐渐降低，但毛细管压力仍会使多孔材料内外产生压力梯度，液滴会继续渗透。1.6 ms~3.2 ms时间内，随着铺展渗透缓慢进行，液滴在多孔材料内外的压力差会逐渐减小，当液滴完成整个渗流过程后，液滴在多孔材料内外的不再存在压力差，液滴处于稳定状态。

图  8  液滴形状和压力场随时间的变化

Figure  8.  Droplet shape and pressure field over time

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孔隙结构产生的流体阻力，是造成多孔材料内部较小流体速度的原因。孔隙结构中的毛细管压力会产生压力梯度，使得液滴会继续向多孔材料深处渗透。液滴在渗透过程中，流体阻力会引起液滴的动量耗散，在动量方程中阻力取决于局部速度的平方(式(9))。因此，阻力倾向于将速度保持在非常小的水平，而压力梯度则会驱动流体流动。随着铺展的进行和多孔材料外部的液膜变薄，液滴边缘的曲率半径显著减小，液滴径向动量进一步减小，但由于液滴存在表面张力，该区域的压力会显著增大。液滴在可渗透表面的情况下，液滴表面张力增加了多孔材料外部液体和内部液体之间的压差，从而进一步增加了渗透速率。

2.2   比热容对液滴渗透性能的影响

比热容是用来衡量物质吸热量与升温量之间关系的物理量，比热容越大，物质吸热升温就越难。以正庚烷、油、水三组代表性液体为例，其粘度分别为7.35×10⁻⁴ Pa∙s、1.386×10⁻² Pa∙s、2.98×10⁻³ Pa∙s，其比热容值分别为308 J·kg⁻¹·K⁻¹、2196 J·kg⁻¹·K⁻¹、4200 J·kg⁻¹·K⁻¹，观察液滴流动与传热过程之间的影响。其中其中空气和液滴温度均设为293.15 K，多孔介质表面温度T_P=343.15 K。模拟结果如图9~图11所示。

图  9  比热容c_p对液滴渗透过程的影响

Figure  9.  Effect of specific heat capacity c_p on droplet permeation process

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从图9中可以发现，液滴的比热容越小，液滴更易浸入多孔材料内部，液滴渗透的深度越深，但液滴在多孔材料表面的铺展半径会减小。

由图10可知，热场作用下，当液滴达到最大铺展半径后，受表面张力的影响，液滴的铺展前沿开始产生涡流。由涡流引起的液体回流速度逐渐增加，并将底部吸热升温的流体带回液滴中心处，中心处流体因受到四周回流的挤压，加快了液滴的渗透速度，液滴的渗透性能增强。

图  10  速度矢量图

Figure  10.  Velocity vector diagram

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由图11可知，随着${c}_{{\mathrm{p}}}$的减小，液滴的渗透深度明显增加，其铺展半径则略微减少。一定时间后，其渗透深度和铺展半径均会到达一个稳定状态。这说明比热容对液滴的渗透有着重要的影响，因为${c}_{{\mathrm{p}}}$较小的液滴升温较快，热物性更易得到改善，液滴的运动性能增强，从而更易浸入多孔材料内部。

图  11  不同c_p下H^*和R^*随T的变化规律

Figure  11.  The change law of H^* and R^* with T under different c_p

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2.3   多孔表面温度${T}_{{\mathrm{P}}}$对液滴渗透性能的影响

以不锈钢材料为多孔材料，正庚烷为液滴，通过改变多孔材料表面温度T_P来观察液滴的变形和铺展渗透行为，其中空气和液滴温度均设为293.15 K，多孔材料表面温度分别设为293.15 K、323.15 K、353.15 K，模拟结果如图12~图13所示。

图  12  多孔不锈钢材料表面不同温度对液滴渗透过程的影响

Figure  12.  Effect of different temperatures on the surface of porous stainless steel materials on the process of droplet penetration

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图  13  不同T_p下H^*和R^*随T的变化规律

Figure  13.  The change law of H^* and R^* with T under different T_p

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从图12中可以发现，当液滴接触多孔材料表面时，由于材料表面温度高于液滴内部温度，液滴吸收热量，当液滴吸热升温时，其物性参数会随着温度的变化而发生改变。随着多孔材料表面温度升高，液滴的热导率也逐渐增大，液滴的动力黏度不断减小，运动性能增强。所以随着多孔材料表面温度的升高，液滴的渗透效果有小幅度的增强，但表面温度高的多孔材料铺展半径稍弱于低温多孔材料。

从图13中可以发现，随着多孔材料表面温度的升高，液滴的渗透深度明显增加，液滴在多孔材料表面的铺展半径则略微减小。这是因为在对流传热的过程中，流体温度与壁面温度相差越大，则换热量越大。因此，表面温度越大，液滴在对流换热的过程中吸热升温也越高。液滴的动力黏度会随着温度的升高而减小，与此同时，液滴流动时所受到的黏性剪切力和渗透时所受到的黏性阻力也将减小。由于液滴的铺展与渗透之间是相互竞争的，当多孔材料对液滴的阻力较小时，液滴所能达到的渗透深度就越大，而铺展半径则会相对减小。

2.4   多孔材料中的传热过程

传热是指由于温差引起的能量转移，又称热传递。由热力学第二定律可知，有温差存在时，热能就必然从高温处传递到低温处，因此传热是自然界和工程技术领域中极普遍的一种传递现象。液滴在多孔材料中渗流过程中的传热模式属于热对流模式，热对流是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。其中空气和液滴温度均设为293.15 K，多孔材料的表面为恒温353.15 K，液滴在热对流传热过程中，多孔材料内部的温度变化如图14所示。

图  14  多孔不锈钢材料中液滴渗透时的传热过程

Figure  14.  Heat transfer process during infiltration of liquid droplets in porous stainless steel materials

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由图14可知，当液滴开始向多孔材料渗透时，由于材料表面温度高于液滴温度，液滴会吸收热量，温度升高。液滴渗流过程中，在液体的对流传热和固体导热的共同作用下，多孔材料的内部温度开始逐渐上升。由于液滴渗流初期的渗透速度较快，且渗流初期的铺展半径较小，所以初期中间渗透区域发生液体的热对流传热，两侧未渗透区域发生固体的热传导。由于液体吸热能力比固体吸热能力强，所以在传热过程很明显发现，中间渗透区域的温度快速上升；随着液滴横向铺展，液滴在两侧区域开始渗透，发生热对流传热，两侧的温度开始加速上升。

综上所述，本文重点研究了热场作用下液滴在多孔材料中铺展和渗透的动力学过程，分析了液滴自身比热容和多孔材料表面温度对液滴渗流传热性能的影响。研究结果有助于揭示液滴在多孔材料中的热流耦合机理。需要指出的是，本文在数值模型中采用的多孔基体仍属于理想化的均质各向同性结构，而实际的多孔材料结构更加复杂，未来如何构建符合实际状况的多孔基体模型将是类似工作需要关注的重点。

3   结论

论文以不锈钢多孔材料为研究对象，考虑流体流动与传热之间的相互影响，分析热场作用下液滴渗流的形态变化，研究热场作用下液滴渗流的动力学性能，以及不同壁面温度对液滴渗流和传热的影响。研究的主要结论如下:

(1)孔隙结构中的毛细管压力使得液体在多孔材料中产生压力差，压差驱动下液体在多孔材料中发生铺展和渗透现象。液滴在渗流过程中的径向铺展速度和内部压力先增大后减小，最终保持稳定状态。

(2)受液滴表面张力影响，液滴铺展前沿产生涡流现象，涡流引起液体回流速度逐渐增加，并将底部吸热升温的流体带回液滴中心，使整个液滴内部的温度分布更加均匀，液滴渗透过程中的黏性阻力降低，加快了渗透速度；同时涡流引起液体回流，中心处流体因受到四周回流的挤压，进一步增强了液滴的渗透效应。

(3)升高多孔材料表面温度或降低液滴比热容，均能提高固液两相之间的传热作用，加快多孔材料内部温升速率，进而增强液滴在多孔材料中的渗透性能。