可靠度约束下建筑楼盖人致振动控制方案的拓扑优化方法研究

张卓然; 王浩祺; 陈隽

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2023.10.0729

可靠度约束下建筑楼盖人致振动控制方案的拓扑优化方法研究

同济大学土木工程学院，上海 200092

基金项目: 国家自然科学基金项目(52008306，51778465)；上海市青年科技英才扬帆计划项目(20YF1451300)

详细信息

作者简介:
张卓然(1999−)，男，新疆人，硕士生，主要从事人致振动减振控制研究(E-mail: 2132507@tongji.edu.cn)

陈　隽(1972−)，男，河南人，教授，博士，博导，主要从事工程结构振动舒适度和大数据防灾研究(E-mail: cejchen@tongji.edu.cn)

通讯作者:
王浩祺(1990−)，男，北京人，副研究员，博士，博导，主要从事工程结构振动舒适度和结构健康监测研究(E-mail: 12wanghaoqi@tongji.edu.cn)

中图分类号: TU311.3
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出版历程
- 收稿日期: 2023-10-02
- 修回日期: 2024-01-31
- 录用日期: 2024-02-29
- 网络出版日期: 2024-02-29

TOPOLOGY OPTIMIZATION METHOD FOR HUMAN-INDUCED VIBRATION CONTROL OF LARGE-SPAN FLOORS UNDER RELIABILITY CONSTRAINT

College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China

摘要

摘要:
安装调谐质量阻尼器是减轻大跨建筑楼盖人致振动的有效方法。阻尼器的参数、位置等通常基于经验确定，难以保证其结果为最优减振控制方案，且忽略了人致荷载的随机性。在此背景下，考虑人致荷载的随机性，采用拓扑优化方法提出一种可靠度约束下的调谐质量阻尼器减振控制方法。分析表明，将该方法用于某大跨结构的人致振动减振方案优化设计中，可获得良好的效果。
- 振动舒适度 /
- 人致荷载 /
- 振动控制 /
- 拓扑优化 /
- 动力可靠度 /
- 调谐质量阻尼器
Abstract:
The installation of tuned mass dampers (TMD) is an effective method to reduce human-induced vibration of large-span floors. The parameters and locations of the TMDs are usually empirically determined, which makes it difficult to ensure the most optimized result and to consider the stochastic feature of the human-induced load. A strategy for human-induced vibration serviceability design is proposed based on topology optimization. The stochastic feature of the human-induced vibration is considered, and the optimization constraints are determined from the perspective of dynamic reliability constraints. Satisfactory results are obtained by applying the method to the optimal design of the human-induced vibration using TMDs for a large-span structure.
- vibration serviceability /
- human-induced load /
- vibration control /
- topology optimization /
- dynamic reliability /
- tuned mass damper

HTML全文

随着建筑结构领域的不断发展，如今的建筑结构在设计中更加重视结构整体美学性能与使用功能，并且更常使用大跨度、大悬挑等柔性结构体系。这些改变使得结构的质量减轻、频率下降、阻尼变低，部分结构低阶振型频率接近人致振动频率，从而在人的活动下(如行走、跑步、跳跃等)更容易产生振动，形成“振动舒适度”问题。因此，在结构设计中，除满足结构的安全要求外，进行结构舒适度设计十分必要。

为了避免建筑结构在使用中出现振动舒适度问题，我国《建筑楼盖结构振动舒适度技术标准》^[1]规定了各类建筑的低阶自振频率限值与峰值加速度限值。为了满足结构设计规范对振动舒适度的要求，研究者和技术人员通过调整结构刚度^[2]或安装调谐质量阻尼器(Tuned mass damper，TMD)等减振装置^{[3 − 8]}以降低结构人致振动响应。调整结构刚度的目的在于变化结构的自振频率，进而避免因共振产生大幅振动。然而，这种方法通常会导致结构安全性的大幅冗余，导致较低的设计效率。既有研究表明，在结构上安装减振装置通常具有较低的成本和较好的控制效果^[9]。相较于调整结构刚度的方法，安装减振装置也更适用于已建结构的振动舒适度控制。因此，目前使用减振装置是解决舒适度问题的主要方法。

使用减振控制装置进行结构振动控制的关键在于阻尼器参数^{[10 − 12]}及布置位置的选取。张阳等^[13]对廊桥结构进行了TMD减振控制分析，利用枚举法选取了TMD质量比进行参数设计，安装于加速度最大节点处，明显改善了结构振动舒适度；童汉元等^[14]对桥梁结构进行了TMD减振控制分析，对比分析了不同布置形式对舒适度的影响，提出了阻尼器布置的合理方案。现有使用TMD进行振动控制的研究大多采用枚举法和经验布置方法选取减振控制方案，在有限的可能性中未必存在最优方案，容易造成减振效果不理想与成本浪费。

随着人致振动领域研究的发展^[15]，研究人员发现人运动的不确定性对于结构响应影响十分显著^[16]，对阻尼器减振性能也会有显著影响^[17]，但目前大多数抗振设计中并未考虑人致振动随机性。同时李杰^[18]指出土木工程设计正全面向基于不确定性和可靠度的第三代结构设计迈进，考虑随机性的可靠度设计是十分必要的。贾宇婷等^[19]提出一种通过动力可靠度对简支梁在随机行人荷载下的响应进行评估的方法，证明了行人荷载随机性对结构响应具有显著影响，建议利用动力可靠度对结构进行振动响应分析以及人致振动舒适度评价^[20]。但基于可靠度设计的难点在于传统可靠度计算方法(蒙特卡洛模拟法)需要大量样本点，计算效率低，很难适用于动力学原理为主的舒适度问题。杨俊毅等^[21]和YANG等^[22]共同提出了基于概率密度演化理论(PDEM)高效计算可靠度的方法，弥补了蒙特卡洛模拟法计算可靠度在优化问题中效率过低的不足。

本研究以某大跨结构为背景，使用拓扑优化算法对TMD 总质量及布置位置进行优化设计。结构拓扑优化设计是结构优化设计中的新分支，该方法具有广泛的适用性和较高的计算效率，在土木工程中的主要应用^[23]包括混凝土结构配筋、结构构件设计、建筑结构找形以及构件布置(目前连续体拓扑优化的方法主要有均匀化方法、变密度法和水平集方法)。本研究还在优化算法基础上利用PDEM考虑人致荷载随机性进行基于可靠度的TMD减振布置方案设计。

1 人致随机振动理论

1.1 步行荷载

荷载选取采用陈隽等推荐的针对中国人步行特点的行走荷载傅里叶级数模型^[24]：

$\begin{array}{*{20}{c}}F_{\text{p}}\left(t\right)=G+\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{{l}}G\alpha_i\sin\left(2\text{π }if_{\text{p}}t+\varphi_i\right)\end{array}$

(1)

式中：G为单人重量，取值为0.7 kN；f_p为人群运动频率，取为2 Hz；α_i为动载因子(Dynamic load factor，DLF)，取值为α₁=0.236f_p−0.201，α₂=0.095，α₃=0.052，α₄=0.046，α₅=0.034；φ为相位角，其中φ₁=−π/4。

本文考虑单人质量、步行荷载频率和前三阶动载因子共5个变量的随机性。既有研究表明，以上随机变量均服从正态分布，其取值及来源如表1所示。

表 1 随机变量及来源

Table 1. Random variables and sources

随机变量名称	均值	标准差	数据来源
行人质量/kg	62.8	10.900	《2010年国民体质监测公报》^[25]
步行频率/Hz	2	0.173	《Dynamic design of footbridges》 MATSUMOTO等^[26]
动载因子α₁	0.3241	0.0973	《基于三维步态分析技术的步行荷载实验建模研究》彭怡欣^[27]
动载因子α₂	0.0895	0.0474
动载因子α₃	0.0601	0.0294

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1.2 含有TMD的结构分析模型

本文通过结构有限元模型建立数学模型，计算TMD与结构的耦合体系在步行荷载下的响应：若该结构有限元模型中共U个单元，各单元质量为[mu](u=1,2,3,···, U)，归一化的第n阶模态各节点振型向量记作{Ф_n}，则结构各阶模态在广义坐标系下的动力方程与动力特性如式(2)所示：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\overline {{M_n}} \ddot x + \overline {{C_n}} \dot x + \overline {{K_n}} x = \overline {{F_n}} \left( t \right)} \end{array}$

(2)

${\left\{ \begin{aligned} & {\overline {{M_n}} = {{\left\{ {{\phi _n}} \right\}}^{\text{T}}}\left[ {{m_u}} \right]\left\{ {{\phi _n}} \right\}} \\ & {\overline {{C_n}} = 2\overline {{M_n}} {\omega _n}{\zeta _n}} \\ & {\overline {{K_n}} = \overline {{M_n}} {{\left( {{\omega _n}} \right)}^2}} \\ & {\overline {{F_n}} = {{\left\{ {{\phi _n}} \right\}}^{\text{T}}}\left\{ {F\left( t \right)} \right\}} \end{aligned}\right.}$

(3)

式中， $\overline {{M_n}}$ 、 $\overline {{C_n}}$ 、 $\overline {{K_n}}$ 、 $\overline {{F_n}}$ 、 ${\omega _n}$ 、 ${\zeta _n}$ 分别代表第n阶模态下广义质量、广义阻尼系数、广义刚度、圆频率、阻尼比。

每个节点处的阻尼器质量[m_du](若某节点处未布置TMD，相应位置TMD质量为0)，圆频率为ω_d，阻尼比为ζ_d(默认所有TMD参数相同)。当结构安装了阻尼器，可以将第n阶模态中的结构和阻尼器看作一个双自由度力学模型。

该双自由度力学模型动力方程组为：

$\begin{split} & \left[\begin{matrix}\overline{M_n} & 0 \\ 0 & \overline{M_{\mathrm{d}n}}\end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}\ddot{x} \\ \ddot{x}_{\mathrm{d}}\end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix}\overline{C_n}+\overline{C_{\mathrm{d}n}} & -\overline{C_{\mathrm{d}n}} \\ -\overline{C_{\mathrm{d}n}} & \overline{C_{\mathrm{d}n}}\end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}\dot{x} \\ \dot{x}_{\mathrm{d}}\end{matrix}\right\}+ \\ &\qquad\left[\begin{matrix}\overline{K_n}+\overline{K_{\mathrm{d}n}} & -\overline{K_{\mathrm{d}n}} \\ -\overline{K_{\mathrm{d}n}} & \overline{K_{\mathrm{d}n}}\end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix}x \\ x\mathrm{_d}\end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}\overline{F_n}\left(t\right) \\ 0\end{matrix}\right\} \end{split}$

(4)

$\left\{\begin{aligned} & \overline{M_{\mathrm{d}n}}=\left\{\phi_n\right\}^{\text{T}}\left[m_{\mathrm{d}u}\right]\left\{\phi_n\right\} \\ & \overline{C_{\mathrm{d}n}}=2\overline{M_{\mathrm{d}n}}\omega_{\mathrm{d}}\zeta_{\mathrm{d}} \\ & \overline{K_{\mathrm{d}n}}=\overline{M_{\mathrm{d}n}}\left(\omega_{\mathrm{d}}\right)^2\end{aligned}\right.$

(5)

式中， $\overline{M_{\mathrm{d}n}}$ 、 $\overline{C_{\mathrm{d}n}}$ 、 $\overline{K_{\mathrm{d}n}}$ 为TMD转化的模态质量、模态阻尼、模态刚度。利用Newmark-β法可求解结构各阶模态响应并叠加。

1.3 基于概率密度演化理论的随机振动与可靠度计算方法

本文在进行优化算法中结构可靠度计算时，采用能同时保证计算效率和准确率的概率密度演化方法(Probability density evolution method，PDEM)。解决一般的随机动力系统计算问题时，需要用到数值求解的方法，本文中应用了更具有一般性的广义概率密度演化方程进行数值求解。

对于人致振动问题，人的运动本身就有很强的随机性且对结构响应影响显著，将人致振动体系视为随机系统是十分必要的。对于随机动力系统，李杰提出了概率守恒原理，即在概率保守的随机系统状态演化过程中概率守恒。一般随机动力系统可表述为：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\dot Y = B\left( {Y,\varTheta ,t;x} \right)} \end{array}$

(6)

式中：Y=(Y₁,Y₂,···, Y_v)^T为v维随机状态向量；B=(B₁, B₂,···, B_v)^T为v维函数向量；Θ=(Θ₁, Θ₂,···, Θ_v)^T为包含所有随机变量的随机向量，且随机向量的概率密度函数为p_Θ(θ)，其中θ=(θ₁, θ₂,… θ_v)^T；t为时间；x为系统中可控参数组成的向量。

根据上述概率守恒原理，可以建立控制增广系统(Q, Θ)联合概率密度p_Qθ(q,θ, t; x)随时间变化的广义概率密度演化方程。在本研究中，仅关注结构峰值加速度响应Q这一物理量，建立的方程如下：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {p_{Q\varTheta }}\left( {q,\theta ,t;x} \right)}}{{\partial t}} + \dot Q\left( {\theta ,t;x} \right)\dfrac{{\partial {p_{Q\varTheta }}\left( {q,\theta ,t;x} \right)}}{{\partial {q}}} = 0} \end{array}$

(7)

此时方程的初始条件为：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ \begin{gathered} {p_{Q\varTheta }}\left( {u,\theta ,t;x} \right)\left| {_{t = 0} = \delta \left( {q - {q_0}} \right){p_\varTheta }\left( \theta \right)} \right. \\ {p_{Q\varTheta }}\left( {q,\theta ,t;x} \right)\left| {_{q = \pm \infty } = 0} \right. \\ \end{gathered} \right.} \end{array}$

(8)

利用PDEM求解结构可靠度的基本步骤可总结如下：

1)采用基于GF偏差最小化的点集选取一定数量N_R个代表点{Θ₁, Θ₂,···, ${\varTheta _{{N_R}}}$ }，确定每个点的代表域{V₁, V₂, V₃,···, ${V _{{N_R}}}$ }。进而计算代表点赋得概率；

2)根据每个代表点Θ_z进行结构分析，计算结构响应量Q(θ_z, t; x)及速度过程 $\dot Q$ (θ_z, t; x)；

3)利用广义概率密度演化方程求解。将每个代表点的速度过程代入式(8)计算得到初始条件和边界条件；

4)结构响应的概率密度函数可由式(9)得到：

${p_Q}\left( {q,t;x} \right) = \int \nolimits_{{\varOmega _\Theta }} {p_{Q\varTheta }}\left( {q,\theta ,t;x} \right)\text{d}\theta \mathop \sum \limits_{o = 1}^{{N_R}} p_Q^{\left( o\right)}\left( {q,t;x} \right)$

(9)

通过矩形法或梯形法根据既定可靠度指标即可求得结构的可靠度。

2 生成式设计优化方法

2.1 SIMP方法

结构拓扑优化设计是结构优化设计中的新分支。拓扑优化是指一种根据给定的负载情况、约束条件和性能指标，在给定的区域内对材料分布进行优化的数学方法。其准确的计算结果和广泛的适用场景在汽车设计、飞行器设计以及建筑工程领域快速得到了大量应用。在土木工程中的主要应用包括混凝土结构配筋、结构构件设计、建筑结构找形以及构件布置。目前连续体拓扑优化的方法主要有均匀化方法、变密度法和水平集方法。其中大部分的优化问题都可以总结为以下公式：

$\begin{split} &x= \left(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_c\right) \\ & \text{min }C=f_0\left(x\right) \\ &\mathrm{s.t.}\text{ }f_{\text{eq}}^k\left(x\right)=a\text{ }k=1,2,3,\cdots \\ & \text{ }\quad f_{\text{neq}}^j\left(x\right)\leqslant b\ j=1,2,3,\cdots \end{split}$

(10)

式中：x=(x₁, x₂, x₃,···, x_c)为设计域内的c维决策变量；C=f₀(x)为目标函数； $f_{\text{eq}}^k$ (x)为第k个等式约束条件； $f_{\text{neq}}^j$ (x)为第j个不等式约束条件，统一称为约束条件。在求解最优解时，可定义Lagrange方程：

${\zeta \left( {x,\lambda ,\mu } \right) = {f_0}\left( x \right) + \displaystyle\sum \limits_k {\mathit{\lambda}_k}f_{{\text{eq}}}^k\left( x \right) + \displaystyle\sum \limits_j {\mu_j}f_{{\text{neq}}}^j\left( x \right)}$

(11)

在得到局部最优解x^*时，满足库恩塔克公式：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{\text{d}}C}}{{{\text{d}}{x^*}}} + \lambda \dfrac{{{\text{d}}f_{{\text{eq}}}^k\left( {{x^*}} \right)}}{{{\text{d}}{x^*}}} + \mu \dfrac{{{\text{d}}f_{{\text{neq}}}^j\left( {{x^*}} \right)}}{{{\text{d}}{x^*}}} = 0} \end{array}$

(12)

一般将满足该条件的点称为库恩塔克点即KKT点，通过解得的λ, μ值对设计域内各决策变量(z=1, 2, ···, c)通过迭代准则(以最优迭代准则^[28]为例)进行迭代。式(13)表示了从第w步到第w+1步的迭代过程。

${x}_{\textit{z}}^{w+1}=\left\{\begin{aligned} & \mathrm{max}(0,{x}_{\textit{z}}^w-\Delta){({B}_{\textit{z}}^{w})}^{\eta }, &&{({B}_{\textit{z}}^{w})}^{\eta }{x}_{\textit{z}}^w{\leqslant} \mathrm{max}(0,{x}_{\textit{z}}^w-\Delta)\\ &{({B}_{\textit{z}}^{w})}^{\eta }{x}_{\textit{z}}^w,&& {x}_{\text{min}} {\leqslant} {({B}_{\textit{z}}^{w})}^{\eta }{x}_{\textit{z}}^w {\leqslant} 1\\ &\mathrm{min}(1,{x}_{\textit{z}}^w+\Delta){({B}_{\textit{z}}^{w})}^{\eta }, &&{({B}_{\textit{z}}^{w})}^{\eta }{x}_{\textit{z}}^w\geqslant \mathrm{min}(1,{x}_{\textit{z}}^w+\Delta) \end{aligned}\right.$

(13)

式中，η为维持算法稳定的阻尼系数，一般取0.5，Δ一般取值为灵敏度步长值，本文取0.01 $B_{\textit{z}}^w = - \dfrac{{{\text{d}}C}}{{{\text{d}}{x_{\textit{z}}}}}{\left( {\lambda \dfrac{{{\text{d}}f_{{\text{eq}}}^k\left( {{x_{\textit{z}}}} \right)}}{{{\text{d}}{x_{\textit{z}}}}} + \mu \dfrac{{{\text{d}}f_{{\text{neq}}}^j\left( {{x_{\textit{z}}}} \right)}}{{{\text{d}}{x_{\textit{z}}}}}} \right)^{ - 1}}$ ，直至达到收敛条件得到最优解。

本文使用的SIMP法(Solid Isotropic Material with Penalization，固体各向同性材料惩罚模型)是一种典型的变密度拓扑优化方法，主要思想是引入惩罚因子ρ 对中间密度值进行惩罚，使中间密度值向 0/1 两端聚集收敛，避免中间密度单元的出现。其与一般拓扑优化的差别在于目标函数替换为C=f₀(x^ρ)，后续计算流程大致相同。在灵敏度分析过程中，具有低权重材料密度因子的元素最终将失去其结构重要性，并将在进一步的迭代过程中被忽略。

2.2 基于SIMP方法的TMD减振方案设计

本文中TMD减振设计具体流程图1介绍如下：

图 1 研究流程图

Figure 1. Flow chart

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1)建立TMD与结构耦合的数学模型，确定TMD的频率、阻尼比、个数及总质量范围，选取合适的TMD质量范围与初始布置位置(在基于可靠度优化前还需确定随机变量种类并利用GF选点法生成样本点)；

2)通过结构动力学计算判断该TMD布置下结构目标响应是否满足约束条件(系统峰值加速度小于0.15 m/s²或系统可靠度大于0.95)，根据结果利用二分法增大或减小TMD总质量；

3)利用SIMP法进行TMD布置优化(具体步骤可见3.1节)，判断优化结果是否达到收敛条件(增大/减小的TMD质量小于限值且目标函数满足约束条件)，若不满足则返回步骤2继续迭代；

4)输出TMD质量及布置位置。

3 某大跨度工程结构概况

本节将上述提出的减振方案设计方法应用于某大跨结构进行减振优化设计。该结构作为地标性建筑提供观光、展览、演出、蹦迪等功能(见图2)。该结构向外悬挑28.5 m，悬挑段总长度为 59.6 m，宽度约7 m。悬挑段部分采用玻璃楼板，其余采用混凝土楼板，两侧采用落地玻璃幕墙，最大限度增加视线通透性，外侧立面倾斜，内侧立面垂直。

图 2 某大跨结构示意图

Figure 2. Schematic diagram of a large span structure

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利用Midas gen对该大跨结构进行了建模计算，获得了结构的多阶模态，本研究考虑此大跨结构的前十阶模态进行动力响应分析。图3展示了可能受到人致振动影响的前四阶模态，其频率分别为1.878 Hz、3.494 Hz、3.511 Hz和4.479 Hz。

图 3 结构前4阶模态振型图

Figure 3. The first 4 orders of modal shapes of the structure

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由于多人同步步行荷载容易产生更大的共振效应，本文选取工况为10人队列沿相同路径同步步行荷载。荷载模型选取式(1)所示的步行荷载傅里叶级数模型，其等效布置位置如图4所示。在未安装TMD时，将式(1)表示的步行荷载公式代入式(2)所示的动力学方程，通过Newmark-β法求得楼板结构的加速度。当步行荷载频率取为2 Hz时，计算得结构的共振加速度响应峰值为0.2633 m/s²，不符合规范中以行走激励为主的楼盖结构其竖向振动峰值加速度不应大于0.15 m/s²的要求。因此，该结构存在振动舒适度问题，需要安装TMD进行舒适度设计。

图 4 10人同步步行荷载等效作用位置

Figure 4. Location of equivalent 10-person walking loads

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4 加速度约束下的振动控制方案设计

在进行基于可靠度的TMD减振控制方案优化前，本节利用拓扑优化方法对不考虑荷载随机性的结构进行了TMD布置优化设计，以得到满足规范要求时TMD的最优减振控制方案，并与下文可靠度优化结果进行对比。优化目标为寻找楼板峰值加速度恰好满足规范要求时，所需TMD最小总质量及其布置方式。以下为优化问题的数学表达式：

$\begin{split} & {\rm{given}}\qquad f\quad \zeta \quad N_{{\rm{D}}}\\ & {\rm{find }}\qquad X = \left\{ {{X_1},{X_2},\cdots ,{X_u}} \right\}\\ &\qquad \qquad M_{{\rm{D}}}\\ & {\rm{minimize }}\;\;M _{{\rm{D}}}= \sum \limits_{u = 1}^U {m_{{\rm{d}}u}}\\ & {\rm{subject\; to}}\;\;\mathop \sum \limits_{u = 1}^U {X_u} = N_{{\rm{D}}}\\ &\qquad \qquad {a_{{\rm{max}}}} < A\\ & \qquad \qquad 0 < {X_{{\rm{min}}}} {\leqslant} {X_u} {\leqslant} 1 = {X_{{\rm{max}}}}\\ &\qquad \qquad 1000 < M_D < 10\;000 \end{split}$

(14)

式中：X为设计域内各点布置TMD质量百分数(X_min为保证优化过程中矩阵不出现奇异值而设置的最小值，取10⁻⁵)；M_D/kg为TMD的总质量；N_D为TMD总个数；a_max/(m/s²)为楼板峰值加速度，A为规范中峰值加速度限值，取为0.15 m/s²；f/ Hz为TMD频率，取为1.95 Hz(共振效应最大时的荷载频率2 Hz与首阶振型频率1.878 Hz的中间值)；ζ为TMD阻尼比，依经验取为0.1。基于以上条件，对不同个数下的TMD布置位置和质量进行优化。

系统峰值加速度恰好满足规范要求时TMD布置位置与总质量优化结果如表2所示。表2中各图为结构的俯视图，图中红点代表TMD位置，TMD质量为结构在人致荷载作用下峰值加速度小于0.15 m/s²时所需最小质量。

从结果中可以看出，若仅考虑TMD总质量最小，则布置4个1085 kg的TMD为最优布置方案。若根据实际情况分析，该结构很难安装单个质量超过800 kg的TMD，则布置6个或8个TMD的方案为最优的布置方案。同时，可以看出TMD的最优布置位置并不是集中布置在跨中或低阶振型峰值处，该优化结果也体现了利用拓扑优化算法可以准确考虑结构的多阶模态对减振控制的影响。此外，通过质量优化还可以在满足使用性能的同时尽可能降低减振设计造价，达到经济性与结构性能的平衡。

表 2 确定性结构优化结果

Table 2. Deterministic structure optimization results

荷载工况	TMD个数/个	系统峰值加速度/(m/s²)	布置方案结果图例	单个TMD 质量/kg	TMD总质量/kg
2 Hz 步行荷载	4	0.1498		1085	4340
	6	0.1454		835	5010
	8	0.1499		630	5040
	10	0.1494		543	5430
	12	0.1498		480	5760

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5 可靠度约束下的振动控制方案设计

在考虑人致荷载随机性进行基于可靠度的结构减振设计中，考虑人致荷载质量、频率和3个动载因子共计5个随机变量，变量参数选取可见于表1。

利用PDEM计算不安装TMD时的结构可靠度结果如图5所示，当峰值加速度限值设置为0.15 m/s²时，系统可靠度为小于0.15 m/s²部分图形面积，其值为58.52%。当仅考虑人致荷载频率与动载因子随机，不考虑质量随机，系统可靠度计算结果为59.88%，与图5结果十分接近；若仅考虑人致荷载质量与动载因子随机，不考虑频率随机，可靠度计算结果为11.95%，其下降非常明显。通过对比可以看出，考虑人致荷载频率随机性对可靠度结果有着较大影响，远高于考虑人质量随机对结果的影响，其原因在于当考虑步频随机性时，人致荷载与结构产生的共振效应大为降低。相较于确定步频的分析，考虑步频随机性更加贴近工程实际中的场景，因此，在人致振动随机性分析中考虑荷载频率随机十分必要。

从图5(a)曲线可以看出，考虑荷载参数随机后，PDF曲线集中程度较差，动力可靠度为58.52%，远小于95%这一可靠度目标。结构可能出现的最大加速度接近0.5 m/s²，远大于确定性计算结果0.2633 m/s²。相较于确定性设计，采用综合考虑各类危险工况的基于可靠度的设计是十分必要的。

图 5 不安装TMD系统PDEM结果

Figure 5. PDEM results without TMD system

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基于可靠度优化设计原理的数学表达式与式(14)基本相同，如式(15)所示：

$\begin{split} \text{subject to } & \displaystyle\sum \limits_{u = 1}^U{X_u} =N_{\text{D}} \\ &P_{\text{max}} > 0.95 \\ &\text{ }0 < X_{\text{min}}\leqslant X_{u}\leqslant 1=X_{\text{max}} \\ &\text{ }1000 < M_D < 10000 \end{split}$

(15)

计算结果如表3所示：

图6为布置6个质量为1380 kg的TMD时优化得到的概率密度演化结果：

从图6(a)中PDF曲线可以看到，安装TMD对结构舒适度可靠度有明显的优化效果(安装TMD后舒适度可靠度由58%提升至95%)，图6(a)较图5(a)曲线的峰值前移且曲线集中程度显著提高，系统可能出现的峰值加速度最大值也显著降低(图5(a)可能出现峰值加速度最大值为0.5 m/s²，安装TMD后可能出现峰值加速度最大值下降为0.25 m/s²)。

图 6 布置TMD后PDEM结果

Figure 6. PDEM results after placement of TMD

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从整体计算结果表3可以看出，在TMD总质量约束范围(1000 kg~10000 kg)内仅有布置6个1380 kg的TMD时，结构满足95%可靠度的要求，其余方案均无法达到。纵使布置6个TMD的方案满足可靠度要求，但单个TMD质量过大，现场安装难度大，很难实现。说明该结构通过布置TMD很难满足95%的可靠度要求，但本研究算法实现了给定可靠度限值下随机系统的TMD质量、布置位置、个数最优方案设计。

表 3 基于可靠度优化结果

Table 3. Optimization results based on reliability

荷载工况	TMD个数/个	结构可靠度	布置方案结果图例	单个TMD 质量/kg	TMD总质量/kg
随机步行荷载	4	0.9486		2410	9640
	6	0.9512		1380	8280
	8	0.9448		1120	8960
	10	0.9312		950	9500
	12	0.9237		800	9600

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6 结论

本文提出了一种基于拓扑优化的大跨楼盖振动舒适度控制方案设计方法。该方法充分考虑了系统各项随机性的影响，以结构动力可靠度为约束，可实现TMD布置的最优位置、质量和个数的优化。基于这一方法，对某大跨结构进行了人致振动下结构舒适度设计，首先给出了确定性步行荷载作用下TMD布置的最优位置、质量及个数；同时借助PDEM进行了考虑荷载随机性的结构振动舒适度可靠度计算，给出了考虑步行荷载随机性的TMD最优减振控制方案。基于以上内容，得到了以下结论：

(1)当采用确定性的设计方法时，满足规范要求的设计方案仍有一定概率超出响应限值，不能保证实际使用中的振动舒适度。因此，在进行结构设计时有必要考虑荷载的随机性；

(2)当考虑步频的随机性时，结构共振效应减小，本文算例中结构可靠度由11.95%提升至58.52%。故考虑步频随机后结构更容易满足振动舒适度要求，可供实际工程设计中参考；

(3)本文方法可以在给定可靠度目标下，获得TMD质量、位置和个数的最优布置，实现了基于性能的工程结构振动舒适度设计。

图 1 研究流程图

Figure 1. Flow chart

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图 2 某大跨结构示意图

Figure 2. Schematic diagram of a large span structure

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图 3 结构前4阶模态振型图

Figure 3. The first 4 orders of modal shapes of the structure

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图 4 10人同步步行荷载等效作用位置

Figure 4. Location of equivalent 10-person walking loads

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图 5 不安装TMD系统PDEM结果

Figure 5. PDEM results without TMD system

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图 6 布置TMD后PDEM结果

Figure 6. PDEM results after placement of TMD

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表 1 随机变量及来源

Table 1 Random variables and sources

随机变量名称	均值	标准差	数据来源
行人质量/kg	62.8	10.900	《2010年国民体质监测公报》^[25]
步行频率/Hz	2	0.173	《Dynamic design of footbridges》 MATSUMOTO等^[26]
动载因子α₁	0.3241	0.0973	《基于三维步态分析技术的步行荷载实验建模研究》彭怡欣^[27]
动载因子α₂	0.0895	0.0474
动载因子α₃	0.0601	0.0294

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表 2 确定性结构优化结果

Table 2 Deterministic structure optimization results

荷载工况	TMD个数/个	系统峰值加速度/(m/s²)	布置方案结果图例	单个TMD 质量/kg	TMD总质量/kg
2 Hz 步行荷载	4	0.1498		1085	4340
	6	0.1454		835	5010
	8	0.1499		630	5040
	10	0.1494		543	5430
	12	0.1498		480	5760

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表 3 基于可靠度优化结果

Table 3 Optimization results based on reliability

荷载工况	TMD个数/个	结构可靠度	布置方案结果图例	单个TMD 质量/kg	TMD总质量/kg
随机步行荷载	4	0.9486		2410	9640
	6	0.9512		1380	8280
	8	0.9448		1120	8960
	10	0.9312		950	9500
	12	0.9237		800	9600

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参考文献(28)

[1]	JGJ/T 441−2019, 建筑楼盖结构振动舒适度技术标准[S]. 北京: 中国建筑工业出版社, 2020. JGJ/T 441−2019, Technical standard for vibration comfort of building covers [S]. Beijing: China Architecture & Building Press, 2020. (in Chinese)
[2]	赵昕, 姚杰, 江祥, 等. 基于顶点加速度敏感性数据的超高层建筑风振舒适度优化设计[J]. 建筑结构学报, 2020, 41(增刊2): 357 − 364. ZHAO Xin, YAO Jie, JIANG Xiang, et al. Human comfort design optimization for super tall buildings based on top acceleration sensitivity data [J]. Journal of Building Structures, 2020, 41(Suppl 2): 357 − 364. (in Chinese)
[3]	LIEVENS K, LOMBAERT G, DE ROECK G, et al. Robust design of a TMD for the vibration serviceability of a footbridge [J]. Engineering Structures, 2016, 123: 408 − 418. doi: 10.1016/j.engstruct.2016.05.028
[4]	吴新烨, 傅树德, 李政珂, 等. 基于人群激励下大跨廊桥人致振动舒适度评估[J]. 建筑结构, 2023, 53(增刊1): 801 − 808. WU Xinye, FU Shude, LI Zhengke, et al. Evaluation of human-induced vibration comfort of large-span corridor bridges based on crowd excitation [J]. Building Structures, 2023, 53(Suppl 1): 801 − 808. (in Chinese)
[5]	陈浩, 徐宇同, 赵昕, 等. 大跨钢构连桥振动敏感性分析与减振设计[J]. 建筑结构, 2023, 53(增刊1): 1094 − 1099. CHEN Hao, XU Yutong, ZHAO Xin, et al. Vibration sensitivity analysis and vibration reduction design of long span steel bridge [J]. Building Structures, 2023, 53(Suppl 1): 1094 − 1099. (in Chinese)
[6]	朱璨. 大跨径人行桥人致振动舒适度分析[J]. 四川建材, 2016, 42(3): 85 − 86. doi: 10.3969/j.issn.1672-4011.2016.03.044 ZHU Can. Analysis for comfort of pedestrian-induced vibration on large-span pedestrian bridges [J]. Sichuan Building Materials, 2016, 42(3): 85 − 86. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1672-4011.2016.03.044
[7]	XU Y S, XU Z D, GUO Y Q, et al. Dynamic properties and energy dissipation study of sandwich viscoelastic damper considering temperature influence [J]. Buildings, 2021, 11(10): 470. doi: 10.3390/buildings11100470
[8]	WEBER F, BORCHSENIUS F, DISTL J, et al. Performance of numerically optimized tuned mass damper with inerter (TMDI) [J]. Applied Sciences, 2022, 12(12): 6204. doi: 10.3390/app12126204
[9]	罗晓群, 张晋, 沈昭, 等. 单斜面索拱支承曲梁人行桥人致振动控制研究[J]. 振动与冲击, 2020, 39(11): 83 − 92. LUO Xiaoqun, ZHANG Jin, SHEN Zhao, et al. Human-induced vibration control of curved beam footbridge with single inclined cable arch [J]. Journal of Vibration and Shock, 2020, 39(11): 83 − 92. (in Chinese)
[10]	张竞巍, 魏晓军, 夏冉, 等. 基于嵌入式多项式混沌展开法的TMD鲁棒优化设计[J]. 工程力学, 2023, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2023.04.0292. ZHANG Jingwei, WEI Xiaojun, XIA Ran, et al. Robust optimal design for tuned mass damper based on intrusive polynomial chaos expansion method [J]. Engineering Mechanics, 2023, doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2023.04.0292. (in Chinese)
[11]	王宝顺, 何浩祥, 闫维明. 质量调谐-颗粒阻尼器复合减振体系的力学解析及优化分析[J]. 工程力学, 2021, 38(6): 191 − 208. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.07.0463 WANG Baoshun, HE Haoxiang, YAN Weiming. Analytical model and optimization analysis of combined damping system with TMD and particle damper [J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(6): 191 − 208. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.07.0463
[12]	VERMA M, NARTU M K, SUBBULAKSHMI A. Optimal TMD design for floating offshore wind turbines considering model uncertainties and physical constraints [J]. Ocean Engineering, 2022, 243: 110236. doi: 10.1016/j.oceaneng.2021.110236
[13]	张阳, 辛棚昭, 赫中营. 人行桥人致振动及TMD减振性能分析[J]. 市政技术, 2019, 37(4): 76 − 81. doi: 10.3969/j.issn.1009-7767.2019.04.026 ZHANG Yang, XIN Pengzhao, HE Zhongying. Analysis of pedestrian induced vibration and the damping performance of TMD structure of footbridge [J]. Municipal Engineering Technology, 2019, 37(4): 76 − 81. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1009-7767.2019.04.026
[14]	童汉元, 游科华. 大跨异形人行拱桥舒适度分析及TMD减振控制[J]. 城市道桥与防洪, 2023(2): 78 − 82, 86. TONG Hanyuan, YOU Kehua. Comfort analysis and TMD vibration reduction control of long-span special-shaped pedestrian arch bridge [J]. Urban Roads Bridges & Flood Control, 2023(2): 78 − 82, 86. (in Chinese)
[15]	WANG H Q, GE Q, ZENG D J, et al. Human-induced vibration serviceability: From dynamic load measurement towards the performance-based structural design [J]. Buildings, 2023, 13(8): 1977. doi: 10.3390/buildings13081977
[16]	丁国, 陈隽. 行人荷载随机性对楼盖振动响应的影响研究[J]. 振动工程学报, 2016, 29(1): 123 − 131. DING Guo, CHEN Jun. Influences of walking load randomness on vibration responses of long-span floors [J]. Journal of Vibration Engineering, 2016, 29(1): 123 − 131. (in Chinese)
[17]	向越, 谭平, 贺辉, 等. 随机激励下带滞变阻尼的调谐质量阻尼器减振性能研究[J]. 工程力学, 2024, 41(1): 171 − 181. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2022.03.0237 XIANG Yue, TAN Ping, HE Hui, et al. Vibration mitigation performance of tuned mass damper with hysteretic damping subjected to white-noise excitation [J]. Engineering Mechanics, 2024, 41(1): 171 − 181. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2022.03.0237
[18]	李杰. 论第三代结构设计理论[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2017, 45(5): 617 − 624, 632. LI Jie. On the third generation of structural design theory [J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2017, 45(5): 617 − 624, 632. (in Chinese)
[19]	贾宇婷, 杨娜, 白凡, 等. 随机行人荷载下结构动力可靠度分析[J]. 振动工程学报, 2020, 33(3): 509 − 516. JIA Yuting, YANG Na, BAI Fan, et al. Dynamic reliability analysis of structures under stochastic human-induced loads [J]. Journal of Vibration Engineering, 2020, 33(3): 509 − 516. (in Chinese)
[20]	ZENG D J, WANG H Q, CHEN J. Dynamic reliability analysis of large-span structures under crowd bouncing excitation [J]. Buildings, 2022, 12(3): 332. doi: 10.3390/buildings12030332
[21]	杨俊毅, 陈建兵, 李杰. 不同分布随机参数结构非线性地震反应的概率密度演化[J]. 西南交通大学学报, 2015, 50(6): 1047 − 1054. YANG Junyi, CHEN Jianbing, LI Jie. Probability density evolution analysis of nonlinear seismic response of structures with random parameters following different distributions [J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2015, 50(6): 1047 − 1054. (in Chinese)
[22]	YANG J S, CHEN J B, BEER M, et al. An efficient approach for dynamic-reliability-based topology optimization of braced frame structures with probability density evolution method [J]. Advances in Engineering Software, 2022, 173: 103196. doi: 10.1016/j.advengsoft.2022.103196
[23]	高文俊, 吕西林. 拓扑优化在结构工程中的应用[J]. 结构工程师, 2020, 36(6): 232 − 241. GAO Wenjun, LYU Xilin. Applications of topology optimization in structural engineering [J]. Structural Engineers, 2020, 36(6): 232 − 241. (in Chinese)
[24]	陈隽, 王浩祺, 彭怡欣. 行走激励的傅里叶级数模型及其参数的实验研究[J]. 振动与冲击, 2014, 33(8): 11 − 15, 28. CHEN Jun, WANG Haoqi, PENG Yixin. Experimental investigation on Fourier-series model of walking load and its coefficients [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(8): 11 − 15, 28. (in Chinese)
[25]	体育总局. 2010年国民体质监测公报[EB]. https://www.sport.gov.cn/n315/n329/c965571/content.html (2011-09-02).
[26]	MATSUMOTO Y, NISHIOKA T, SHIOJIRI H, et al. Dynamic design of footbridges [J]. IABSE Proceedings, 1978, 2(17): 1 − 15.
[27]	彭怡欣. 基于三维步态分析技术的步行荷载实验建模研究[D]. 上海: 同济大学, 2012. PENG Yixin. Experimental modeling of walking load based on three-dimensional gait analysis technology [D]. Shanghai: Tongji University, 2012. (in Chinese)
[28]	BENDSOE M, SIGMUND O. Material interpolation schemes in topology optimization [J]. Archive of Applied Mechanics, 1999, 69(9/10): 635 − 654.