当工程材料处于运动、冲击、振动等状态承受动态载荷作用时，内部会出现弹性波的传播。材料在制备和工作中不可避免的出现夹杂和裂纹等，当弹性波在其中传播时，必然会与障碍物发生作用产生散射效应^[1]。弹性波散射理论对各种材料、工程和科学研究的发展具有非常重要的意义^[2]。MOW等^[3]用波函数展开法、积分方程法和积分变换法详细讨论了弹性介质中弹性波在空腔、夹杂中的衍射问题。YANG等^[4]通过广义自洽模型(GSCM)研究了反平面(SH)和面内(P和SV)弹性波在含有随机分布平行纤维的复合材料中的传播。表明非均匀介质中的多次散射导致波的速度和衰减依赖于频率，在较宽的频率和纤维浓度范围内计算了波的有效相速度和衰减。LIU等^[5]研究了SH波在椭圆孔和裂纹周围的散射，得到其动应力强度因子。NOZAKI等^[6]研究了平面纵波(P波)和横波(SV波)在具有非均匀界面层的纤维增强金属基复合材料中的传播。LIU等^[7]研究了界面材料性能对多相纤维复合材料中轴向剪切波色散和衰减的影响。SATO等^[8]考虑了面内压缩波和剪切波在含有不均匀弹性特性界面层的纤维增强复合材料中传播的多次散射，通过SiC纤维增强Al基体复合材料的数值计算，体现了界面特性对波传播的影响。LI等^[9]研究了含界面纤维复合材料在弹性波散射作用下，材料特性和结构尺寸对界面处动应力集中因子的影响。KANAUN等^[10]利用不同版本的有效介质法(EMM)导出剪切波在单向纤维增强复合材料中传播时波场波数的色散方程，比较了各版本有效介质法预测平均波场速度和衰减系数的主要差异。FANG等^{[11 − 12]}采用有效介质法结合弹性波干涉理论，研究了反平面剪切波在随机分布单向纤维增强的半无限复合材料和非均匀复合材料中的传播，并得到有效波数的色散关系，分析了材料物理特性和几何尺寸对复合材料动态有效性能和频散曲线的影响。

随着智能器件逐渐向微型化方向发展，开发各类多功能纳米材料已成为一种趋势，由各种材料如聚合物、碳和半导体制成的纳米纤维已被广泛应用^{[13 − 14]}。在纳米复合材料中，由于表面体积比的增加，表面效应变得显著，其细观应力场具有明显的尺度效应^{[15 − 16]}。在诸多纳米结构材料表面效应的研究中，GURTIN等^{[17 − 19]}提出了考虑表面效应的弹性理论，在此基础上进行了微纳米结构、材料的理论分析，GURTIN-MURDOCH表面弹性理论已被广泛应用于纳米尺度下弹性介质和工程材料的各种力学行为研究。YANG^[20]研究了含有球形纳米空腔复合材料有效剪切模量和体积模量的封闭解，分析弹性性能受表面能和纳米空腔尺寸的影响。DUAN等^[21]研究表明界面效应对含有纳米夹杂非均匀复合材料的有效弹性模量有显著影响，并给出了体积模量和剪切模量的封闭表达式。肖俊华等^[22]基于表面弹性理论，由GSCM计算得到纳米涂层纤维增强复合材料的有效力学性能受涂层模量、厚度和界面模量的影响。LUO等^[23]用复变函数法和保角映射法研究了纳米尺度下椭圆非均匀体在反平面载荷剪切作用下基体的应力场。基于同样的方法，CHEN等^[24]推导了在远场反平面剪切载荷以及电载荷作用下，含涂层纳米椭圆纤维压电复合材料中电弹性场的解析解答。WANG^[25]研究具有表面效应的两个圆柱孔受平面纵波的多重衍射，并讨论了表面能和两个孔之间的相互作用对孔表面周围动应力集中的影响。OU等^[26]研究弹性基体中嵌入的单根纳米涂层纤维对平面纵波和横波的散射。计算了沿涂层纤维与基体界面在平面弹性波和散射截面影响下的动应力集中系数。HASHEMINEJAD等^[27]研究了平面弹性波作用下纳米纤维复合材料的尺寸相关动态有效弹性常数，并分析了界面能量效应。QIANG等^[28]通过多重散射法研究随机分布纳米纤维复合材料中SH波的有效传播常数。ZHANG等^[29]利用表面压电理论研究了纳米压电薄膜结构中Rayleigh型表面波传播的色散特性。WU等^{[30 − 31]}采用复变函数方法分别研究了纳米尺度下无限平面内含有任意形状空腔和直角平面内含有圆柱形夹杂在SH波作用下孔边动应力集中问题。

在复合材料的设计过程中，经常用涂层纤维来提高纤维与基体的结合强度，使复合材料获得更优良性能。在具有涂层纳米纤维的复合材料中，界面与体积的比率更高，复合材料的有效性能可以通过涂层周围的界面进行调控。目前大多学者对于纳米复合材料动态问题的研究主要针对动应力集中问题，对于纳米复合材料整体动态有效力学性能(比如：有效相速度、有效衰减和有效弹性常数等)的研究非常有限。动态有效力学性能是蠕变、应力松弛、迟滞等非线性力学问题中的基本参数。本文基于表面弹性理论和波动理论，建立纳米涂层复合材料的GSCM，研究纳米尺度材料中反平面剪切波的多重散射问题，讨论纳米尺度下复合材料的有效剪切模量受涂层几何尺寸、材料常数、入射波参数、界面性能的影响，为纳米涂层纤维增强复合材料动态有效性能的预测和与性能调控提供了理论基础。

1   动态广义自洽模型与基本方程

纳米涂层纤维复合材料在考虑表面效应时的广义自洽模型(GSCM) 如图1所示。假设包裹涂层的纤维在基体横向平面上随机分布，使得复合材料的整体结构表现为横向各向同性。以纤维轴向为z方向建立空间直角坐标系，纤维半径为$a$，涂层外半径为$b$，纤维、涂层、基体的体积分数依次是${\lambda _1} = {a^2}/{c^2}$、${\lambda _2} = ({b^2} - {a^2})/{c^2}$、${\lambda _3} = 1 - {\lambda _1} - {\lambda _2}$。涂层纤维由内到外各种介质之间的界面分别表示为${S_1}$、${S_2}$和${S_3}$。设纤维、涂层、基体的反平面剪切模量和密度分别为${\mu _i}$、${\rho _i}$($i$= f, c, m)，复合材料的有效反平面剪切模量和有效密度分别为${\mu _ * }$和${\rho _ * }$，对于较小的密度对比，有效密度${\rho _ * } = {\lambda _1}{\rho _f} + {\lambda _2}{\rho _c} + (1 - {\lambda _1} - {\lambda _2}){\rho _m}$。

图  1  SH波作用下纳米涂层纤维复合材料GSCM

Figure  1.  The GSCM of coated fiber reinforced nanocomposites under SH wave

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设反平面剪切(SH)波以恒定频率$\omega$和波速$c_{\mathrm{s}}$在纳米复合材料中传播，材料中质点只在${\textit{z}}$方向有位移，即^[3]：

平衡方程为：

本构方程为：

联立式(3)得：

式中，${c_{\rm{s}}}$为剪切波速，$c_{\rm{s}}^2 = \mu /\rho$。

对于稳态响应，时间因子可以和位移分离，设：$w=W\mathrm{e}^{-\text{i}\omega t}$，式(4)转化为如下形式的Helmholtz方程^[3]：

式中，$k=\omega/c_{\mathrm{s}}$，$k$为弹性波波数，$\omega$为位移圆频率。SH波在材料中以$W\mathrm{e}^{-\text{i}\omega t}=w_0\mathrm{e}^{\text{i}(kx-\omega t)}$的形式传播，位移场量都含有时间因子$\mathrm{e}^{-\text{i}\omega t}$，后续分析的展开式中省略。

在包含纳米夹杂物的复合材料中，增强成分具有很高的表面体积比，界面能量和应力的影响变得显著，材料宏观行为和物理性质会体现尺寸依赖现象。GURTIN-MURDOCH表面弹性理论^{[17 − 19]}将材料表面等效为一层弹性薄膜，其厚度趋近于零但具有物理性能，由于界面应力的存在界面两侧的应力不再连续，需要满足特殊的应力边界条件。在涂层的内外界面${S_1}$和${S_2}$上分别有^[22]：

式中，$\tau _{\theta {\textit{z}}}^{{S_j}}$和$\varepsilon _{\theta {\textit{z}}}^{{S_j}}$依次为界面${S_j}$($j$=1，2)处的应力和应变表示。对于界面${S_1}$与${S_2}$，考虑其同属于纳米涂层的两侧界面，其力学特性应保持相同，具有相同的剪切模量${\mu _{\text{s}}}$。

假设各组分介质都是紧密相连，动态载荷作用下界面处变形是连续的，界面处和界面附近材料的剪切应变值相等^[23]，即：

2   分析与解答

假设一个反平面剪切(SH)波在离纤维无限远的地方产生，沿$x$轴正向入射到材料中，波场表达式将满足式(5)的一般解形式，入射波可展开为以下形式的柱面波函数^[3]：

式中，${J}_{n}(\cdot)$为第一类$n$阶Bessel函数，有效入射波的波数${k_ * } = \omega /\sqrt {{\mu _ * }/{\rho _ * }}$。散射波可表示为出射柱面波的线性组合：

式中：${H}_{n}^{\left(1\right)}(\cdot)$为第一类$n$阶Hankel函数；${a_n}$为散射系数可以通过边界条件来解出。等效介质中的波场是有效入射波与散射波的叠加，即：

传递到环形基体区域的剪切波是两部分波场(外行波和内行波)的总和，表示为：

式中，${H}_{n}^{\left(2\right)}(\cdot)$为第二类$n$阶Hankel函数，基体中剪切波的波数${k_m} = \omega /\sqrt {{\mu _m}/{\rho _m}}$。

涂层中的波场表示为：

式中，涂层中剪切波的波数${k_c} = \omega /\sqrt {{\mu _c}/{\rho _c}}$。

传递到弹性纤维中的剪切波表示为：

式中，纤维中剪切波的波数${k_{\rm f}} = \omega /\sqrt {{\mu _{\rm f}}/{\rho _{\rm f}}}$。

在柱坐标系下由式(3)表示的本构方程为：

将波场函数代入上式可得复合材料中各部分的切应力场：

由式(6)~式(8)可得问题的边界条件如下：

1) 在$r = a$的界面${S_1}$处，位移 连续，径向应力${\tau _{r{\textit{z}}}}$跳跃：

2) 在$r = b$的界面${S_2}$处，位移连续，径向应力${\tau _{r{\textit{z}}}}$跳跃：

3) 在$r = c$的界面${S_3}$处，位移连续，径向应力${\tau _{r{\textit{z}}}}$连续：

将波场方程代入到边界条件中，可得下列方程组：

由式(26)可求解出由有效波数所表示的各波场模态系数。

3   动态有效模量

广义自洽方法比一般有效场法更接近实验数据，广义自洽模型对于各种可能的纤维体积浓度和弹性性质均适用^[10]。复合材料中波传播的有效相速度和衰减可以由多重散射法通过下式迭代计算求解^[4]：

式中，单位体积的散射体数${n_0} = 1/(\pi {c^2})$。迭代从有效波数${k^{\left( 0 \right)}} = {k_m}$开始，计算正向和反向的散射振幅，由式(27)可以求出一个新的波数。用修正后的有效波数作为一个新的初始波数进行计算，重复此过程，直到出现收敛。在本文的数值计算过程中一般进行迭代7次及以上即可得到收敛的有效波数。

有效波数是一个复数值，实部包含相干波的色散特征，虚部表示相干波的衰减特性。衰减和色散都由于复合材料的非均质性造成。归一化有效相速度和有效衰减可以表示为：

由有效剪切波的相速度，纳米复合材料动态有效剪切模量的表达式为：

4   结果与讨论

讨论纳米复合材料动态有效性能受涂层参数和界面性能的影响。定义体现界面性能的变量$\alpha=\mu_{\mathrm{s}}/\mu_{\rm m}$，相关文献表示$\alpha$的范围在$- 2 \times {10^{ - 10}}\;{\text{m}}$至$2 \times {10^{ - 10}}\;{\text{m}}$^[23]。

4.1   结果的有效性

图2和图3给出了不考虑涂层时，本文所得复合材料动态有效弹性模量与已有结果比较，其中参数选取与文献一致。由图可以看出，本文解析解与文献[27 − 28]吻合较好。图4表示涂层剪切模量对复合材料有效剪切模量的影响曲线，是本文结果与文献[22]的比较。当波数${k_{\rm m}} \to 0$时，动态有效剪切模量退化为静态有效剪切模量，本文解答与文献[22]结果一致。

图  2  纤维半径a对无量纲有效剪切模量的影响

Figure  2.  The effect of fiber radius a on dimensionless effective shear modulus

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图  3  频率k_ma对无量纲有效剪切模量的影响

Figure  3.  The effect of frequency k_ma on dimensionless effective shear modulus

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图  4  对数$\lg ({\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}})$对无量纲有效剪切模量的影响

Figure  4.  The effect of logarithm $\lg ({\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}})$ on dimensionless effective shear modulus

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4.2   归一化相速度和归一化衰减

图5和图6给出了不同界面模量α时，归一化相速度$c_{\mathrm{s}}^*\mathord{\left/\vphantom{c_{\rm{s}}^*c_{\rm{s}}^m}\right.}c_{\mathrm{s}}^m$和衰减${\alpha _{\rm m}}$随频率k_mb的变化曲线，其中涂层厚度取为$b - a = 0.2a$，涂层纤维体积分数$\lambda = {\lambda _1} + {\lambda _2} = 0.3$，纤维无量纲剪切模量${\mu _{\rm f}}/{\mu _{\rm m}} = 10$，涂层无量纲剪切模量${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}} = 0.5$。$\alpha = 0$表示不考虑表面效应，涂层纤维界面处简化为经典应力连续性条件，结果与尺寸无关。图5表明，当纤维尺寸较小($a = 2{\text{ nm}}$)时，表面效应对相速度的影响较为明显，纤维尺寸较大($a = 10{\text{ nm}}$)时影响逐渐减弱。具有正模量的界面($\alpha > 0$)相速度曲线高于经典结果，即产生硬化效应；而具有负模量的界面($\alpha < 0$)相速度曲线低于经典结果，即产生软化效应。随着频率的增大，弹性波的相速度整体趋向于下降(图5)，弹性波的衰减呈上升趋势(图6)，且在高频区域弹性波有效相速度和衰减的表面效应更为明显。

图  5  归一化相速度随频率k_mb的变化曲线

Figure  5.  Variation of normalized phase velocity with frequency k_mb

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图  6  归一化衰减随频率k_mb的变化曲线

Figure  6.  Variation of normalized attenuation with frequency k_mb

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4.3   频率对动态模量的影响

图7给出了不同涂层壁厚b/a时复合材料无量纲有效剪切模量${\mu _*}/{\mu _{\rm m}}$随频率k_mb的变化曲线，其中$a = 2{\text{ nm}}$，$\lambda = {\lambda _1} + {\lambda _2} = 0.3$，${\mu _{\rm f}}/{\mu _{\rm m}} = 10$，${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}} = 0.5$。由图7可知，对于不同的涂层壁厚，无量纲有效剪切模量随频率变化的趋势基本一致。随着涂层厚度的增大，无量纲有效剪切模量减小，但无量纲有效剪切模量与不考虑表面效应的经典结果偏差增大，表面效应更加显著。

图  7  频率k_mb对无量纲有效剪切模量的影响

Figure  7.  The effect of frequency k_mb on dimensionless effective shear modulus

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图8和图9给出了不同涂层剪切模量${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}}$时复合材料有效剪切模量${\mu _*}/{\mu _{\rm m}}$随频率k_mb的变化曲线，其中$b - a = 0.2a$，$\lambda = {\lambda _1} + {\lambda _2} = 0.3$，${\mu _{\rm f}}/{\mu _{\rm m}} = 10$。由图可知，涂层剪切模量${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}}$对复合材料有效剪切模量随频率变化曲线影响较大：软涂层时(图8)有效剪切模量随频率的增大整体呈下降趋势，硬涂层时(图9)有效剪切模量随频率的增大先减小后增大。硬涂层时(图9)剪切模量与经典结果之间差别比软涂层时(图8)小，表面效应的影响变弱。

图  8  频率k_mb对无量纲有效剪切模量的影响(${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}} = 0.5$)

Figure  8.  The effect of frequency k_mb on dimensionless effective shear modulus (${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}} = 0.5$)

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图  9  频率k_mb对无量纲有效剪切模量的影响(${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}} = 4$)

Figure  9.  The effect of frequency k_mb on dimensionless effective shear modulus (${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}} = 4$)

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4.4   涂层刚度对动态模量的影响

图10给出了无量纲有效剪切模量${\mu _*}/{\mu _{\rm m}}$随涂层相对模量对数$\lg ({\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}})$的变化曲线，取${k_{\rm m}}b = 0.2$，$a = 5{\text{ nm}}$，$b - a = 2{\text{ nm}}$，$\lambda = {\lambda _1} + {\lambda _2} = 0.3$。由图10可知，复合材料有效剪切模量随着涂层模量和纤维模量的增大而增大。当涂层模量${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}}$较小时 ($\lg ({\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}})$< −1.5)，考虑表面效应与不考虑表面效应的有效剪切模量分别趋近于某一定值；当涂层模量${\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}}$较大时($\lg ({\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}})$>2)，所有曲线趋近于相同值，表面效应的影响变弱。图10表明：涂层界面性能的影响随着涂层模量增大而减弱，特别软或特别硬的涂层都会掩盖复合材料中纤维模量的作用。

图  10  无量纲有效剪切模量随涂层模量$\lg ({\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}})$的变化曲线

Figure  10.  Variation of dimensionless effective shear modulus with coating modulus $\lg ({\mu _{\rm c}}/{\mu _{\rm m}})$

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5   结论

本文基于表面弹性理论和波动理论，研究了SH波在随机分布纳米涂层纤维复合材料中的传播特征。利用广义自洽方法和多重散射法计算出波的有效相速度、衰减和动态有效弹性常数。算例讨论了涂层的几何尺寸、材料常数、界面性能对纳米复合材料动态力学性能的影响。研究结果表明：

(1) 在纳米尺度范围内，SH波传播的有效相速度、衰减和复合材料有效剪切模量受表面效应的影响显著，纤维半径越小和频率越高，表面效应越明显。具有正模量界面的结果高于经典解答，具有负模量界面的结果低于经典解答。

(2) 涂层壁厚不同时，有效剪切模量随频率变化的趋势基本一致。涂层壁厚越大，无量纲有效剪切模量与不考虑表面效应的经典结果偏差越大，表面效应更加显著。

(3) 软涂层时有效剪切模量随频率的增大整体呈下降趋势，硬涂层时有效剪切模量随频率的增大先减小后增大。硬涂层时有效剪切模量与经典结果之间差别比软涂层时小。

(4) 涂层界面性能和纤维模量对材料整体有效模量的影响也取决于涂层模量，特别软或特别硬的涂层都会掩盖复合材料中纤维模量的作用；涂层界面性能的影响随着涂层模量增大而减弱。