THERMO-ELASTIC PRIMARY PARAMETER RESONANCE OF FUNCTIONALLY GRADED CIRCULAR PLATE WITH VARIABLE-SPEED ROTARY MOTION
-
摘要:
对温度影响下变速旋转运动功能梯度圆板主参数共振进行研究。给出热传导方程和依赖于空间位置与温度变化的物性参数表达式,基于薄板理论,考虑几何非线性,得到功能梯度圆板动能和势能表达式,运用哈密顿变分原理推导出非线性动力学控制方程。使用伽辽金方法离散时间与空间,给出变速旋转运动功能梯度圆板主参数非线性振动微分方程,得到由于旋转及温度引起的径向、横向静挠度方程组。应用多尺度法求非线性振动微分方程,得出幅频响应方程,并对系统进行稳定性分析。通过算例分析,得到系统的幅频曲线图、参数-振幅图、动相平面轨迹图与时程图,从中得到系统主参数共振的非线性变化规律,结果表明,当无量纲后的固有频率分别接近于1和2时,系统会出现两种共振现象;随着温度场温度升高及转速增大,系统振幅增大,共振区域减小。
Abstract:The study investigates the primary parameter resonance of a functionally graded circular plate with variable-speed rotary motion under the influence of temperature. Developed are the heat conduction equation and physical parameter expressions depend on the spatial position and on temperature variation. Based on the thin plate theory and considering the geometric nonlinearity, the expressions of kinetic and potential energies for the circular plate are obtained. The nonlinear dynamic governing equations are derived by applying the Hamiltonian principle. The Galerkin method is employed to discretize time and space, the nonlinear vibration differential equation is derived, and the control equations of radial and lateral static deflections generated by temperature field and rotational motion are obtained. The amplitude-frequency response equations are derived by solving the differential equation upon the multi-scale method, and the stability of steady-state motion is discriminated. Through example analyses, obtained are the amplitude-frequency curves, parameter-amplitude diagrams, dynamic phase plane trajectory diagrams and time-history diagrams, revealing nonlinear dynamic characteristics of the primary parameter resonance. The analysis results indicate that: when the dimensionless natural frequency is close to 1 and 2, respectively, two forms of primary parameter resonance can be activated, and the temperature rises and speed improves, the response amplitude increases, and resonance region narrows.
-
随着现代科学技术的发展,在航空航天、机械领域对工作材料的要求越发高,要求能够在极限环境中保持长时间使用,因此功能梯度材料应运而生。旋转功能梯度圆板振动时,当参数激励接近于系统固有频率的二倍,很小的参数激励就会产生非常大的响应。因此分析功能梯度圆板参数振动的稳定性,确定各参数的安全使用范围,能够保障功能梯度材料板的安全使用。
学者们对不同边界条件下的功能梯度构件的非线性振动进行研究。GUNES等[1]对功能梯度圆板在夹支和简支边界条件下进行几何非线性分析,发现简支边界功能梯度圆板的非线性明显于夹支边界条件功能梯度圆板。WANG等[2 − 3]基于三维理论,采用直接位移法研究功能梯度圆板轴对称自由振动。对圆板不同的振动问题需要采取不同的解析方法和数值方法。KERMANI等[4]对引起多向功能梯度圆板和圆环板的无量纲固有频率变化的因素进行研究。DAI等[5]在均匀磁场环境下,用空间状态法研究横向各向同性功能梯度圆板的自由振动问题。JAVAHERI等[6]和NAJAFIZADEH等[7]分别给出了功能梯度矩形简支板和功能梯度圆板在热环境中的屈曲温度的封闭解。REDDY等[8]在一阶剪切变形理论与经典板理论弯曲解之间搭建了桥梁。RAD[9]使用半解析法对功能梯度圆板在非均匀非对称荷载下的热弹性行为进行分析。柏冬军等[10]使用拟协调元法推导得到梁单元的刚度矩阵,并使用线性二次型最优控制算法对功能梯度梁进行最优振动控制。
旋转系统经常用在板构件中,对于旋转板的振动,学者们进行了大量研究。ZHANG等[11]分析了预扭旋转悬臂板的非线性共振,接着ZHANG等[12]对气动载荷下变截面预扭旋转悬臂矩形板1∶2内共振的解析解和数值解都进行了分析。CHEN等[13]讨论了变速下旋转悬臂板的各种不同共振情况。ZHAO等[14]对石墨烯纳米片增强旋转板受外力冲击下的振动频率进行研究。HU等[15]用多尺度法导出了振幅与频率之间的关系表达式,分析了非线性频率与各种参数之间的变化规律。HU和LI[16 − 17]通过分析久期项得到了受空气和磁场作用的旋转圆板和受外力作用的旋转导电圆板的幅频方程,研究了系统各参数对共振幅值的影响。
参数振动是依赖于时间的激励,并且参数激励项以变系数项存在于微分方程中,这类振动会引起复杂的动力学响应,因此分析其振动特性和稳定性是近年来学者们分析的热门问题。ZAJACZKOWSKI[18]提出了求解参数激励系统的变系数微分方程特征指数的近似方法,寻找组合共振使用这种方法很有效。CHEN等[19]求解了复合材料层合板参数振动的稳定性区域,并计算各参数对稳定性区域大小的影响。HU等[20]研究了简支边界条件功能梯度矩形板主参数共振,并用李雅普诺夫方法[21]进行稳定性分析,给出产生共振的参数激励频率。OUYANG和MOTTERSHEAD[22]研究了受旋转摩擦载荷下圆板的参数振动,找到解决板参数振动的通用方法,KURPA等[23]提出了一种研究不同边界条件下不同几何形状板参数振动和稳定性的通用数值方法。
目前国内外学者对旋转圆板在多场耦合下的自由振动、受迫振动和稳定性的研究比较成熟,但是对于变速旋转功能梯度圆板的参数振动还需更深入的研究。本文主要考虑转速随时间变化下功能梯度圆板的非线性参数振动,对变速旋转运动功能梯度圆板变系数非线性参数振动微分方程的求解问题进行研究,对两种主参数振动系统幅频响应方程进行分析,深入讨论温度场变化和圆板参数变化对系统非线性参数振动的影响。
1 变速旋转运动功能梯度圆板基本方程
设功能梯度圆板在温度场中,如图1所示,圆板上表面为金属,下表面为陶瓷,圆板转速为Ω,半径为R,厚度为h。在圆板几何中面圆心所在位置建立柱坐标系(r,θ,z),零点为O点。圆板下表面处在坐标轴正方向(坐标即h/2),圆板上表面在坐标轴负方向(坐标即−h/2)。圆板中任意一点沿坐标轴r,θ,z的位移用ur1,uθ1,w1表示,ur,uθ,w为圆板中面位移分量。
1.1 功能梯度材料物性参数和温度场
圆板底部即z=h/2处,陶瓷体积分数达到最大为纯陶瓷,在z=−h/2处,金属体积分数达到最大为纯金属,从圆板底部到顶部期间,陶瓷和金属的体积分数连续变化,陶瓷在空间上的分布表示为:
Vc=(2z+h2h)n (1) 由Voigt模型[24]得到:
P=PcVc+PmVm (2) 式中:Pc和Pm为陶瓷和金属物性参数;Vc、Vm为陶瓷、金属体积分数,且Vc+Vm=1。
功能梯度材料的热物参数依赖于温度的变化,表示为:
Pc,m=P0(P−1T−1+1+P1T+P2T2+P3T3) (3) 式中:P0、P−1、P1、P2、P3为温度相关系数;材料的热传导率κ、密度ρ、热膨胀系数α、弹性模量E是与温度和空间位置有关,泊松比设为常数。
假设旋转圆板温度沿厚度方向变化。沿厚度方向的温度分布可以通过求解稳态热传导方程[25]和边界条件确定,热传导方程可以用多项式表示为:
ΔT(z)=ΔTm+(ΔTc−ΔTm)ν(z) (4) 式中:
ν(z)=1β[5∑j = 0(−1)jκjcm(jn+1)κjm(2z+h2h)(jn+1)],β=5∑j=0(−1)jκjcm(jn+1)κjm,κcm=κc−κm,T(h/2)=ΔTc,T(−h/2)=ΔTm。 1.2 动能与势能
旋转运动功能梯度圆板内任意一点的变形位移分量在柱坐标系中表示为:
{ur1(r,θ,z,t)=ur(r,θ,t)+zθr(r,θ,t)uθ1(r,θ,z,t)=uθ(r,θ,t)+zθθ(r,θ,t)w1(r,θ,z,t)=w(r,θ,t) (5) 式中:ur、uθ和w为圆板的中面位移分量;θr=−∂w∂r、θθ=−1r∂w∂r为转角位移;t为时间变量。
动能表达式为:
T=12∫h/2−h/2∫2π 0∫R0ρ(z)(V2r+V2θ+V2z)rdrdθdz (6) 式中,旋转圆板的速度分量表达式为:
{Vr=dur1dt−Ωuθ1Vθ=duθ1dt+Ω(ur1+r)Vz=dw1dt (7) 根据圆板非线性理论,考虑圆板轴对称情况,位移和应变关系为:
εr=∂ur∂r+12(∂w∂r)2−z∂2w∂r2 (8) εθ=urr−zr∂w∂r (9) 圆板的中面内力和弯矩为:
Nr=∫h/2−h/2E(z,T)1−μ[11+μ(εr+μεθ)−α(z,T)ΔT(z)]dz (10) Nθ=∫h/2−h/2E(z,T)1−μ[11+μ(μεr+εθ)−α(z,T)ΔT(z)]dz (11) Mr=∫h/2−h/2zE(z,T)1−μ[11+μ(εr+μεθ)−α(z,T)ΔT(z)]dz (12) Mθ=∫h/2−h/2zE(z,T)1−μ[11+μ(μεr+εθ)−α(z,T)ΔT(z)]dz (13) 式中:E为弹性模量;μ为泊松比;α为热膨胀系数。
变形时,圆形薄板的总势能包括弯曲形变势能U1和中面应变势能U2两部分:
U1=12∫2π 0∫R0(Mrκr+Mθκθ)rdrdθ (14) U2=12∫2π 0∫R0(Nrεr+Nθεθ)rdrdθ (15) 阻尼力表示为:
f=ζ∂w∂t (16) 式中,ζ为线性阻尼系数。阻尼力做功表示为:
Wf=∫2π 0∫R0fwrdrdθ (17) 1.3 旋转圆板非线性方程
旋转圆板非线性振动方程由哈密顿变分原理求得:
∫t2t1(δT−δU1−δU2+δWf)dt=0 (18) 式中,t1、t2为积分时间域。
将动能、势能和阻尼力做功表达式代入式(18),得到轴对称旋转运动功能梯度圆板的非线性振动方程:
∂Nr∂r+Nr−Nθr=A1[−Ω2(r+ur)]−A2[d2dt2(∂w∂r)− Ω2∂w∂r] (19) 1r[∂2∂r2(rMr)−∂∂rMθ+∂∂r(rNr∂w∂r)]=A1d2wdt2−A2[−d2dt2(∂ur∂r)−Ω2(∂ur∂r+urr+2)]−A3[1rd2dt2(∂w∂r)−Ω2(1r∂w∂r+∂2w∂r2)]+ζ∂w∂t (20) 式中:A1=∫h/2−h/2ρ(z)dz;A2=∫h/2−h/2zρ(z)dz;A3=∫h/2−h/2z2ρ(z)dz。
2 非线性振动微分方程的求解
2.1 伽辽金离散与静挠度
假设周边为夹支边界约束,且旋转边界带动功能梯度圆板做旋转运动,则边界条件为:
{r=0,ur=0,∂w∂r=0r=R,ur=0,w=0,∂w∂r=0 (21) 由于功能梯度材料在空间位置上密度不同,圆板旋转过程中在横向会产生静挠度w0,考虑变速旋转,径向则会产生微小静挠度f0,则功能梯度圆板横向振动总挠度为:
w=w0+w1 (22) 满足夹支边界条件的位移函数可以表示为如下变量分量形式:
{ur=f0(rR−r2R2)w=[g0+g1(t)](1−2r2R2+r4R4) (23) 设功能梯度圆板的转速为:
Ω=Ω0+Ω1cosω1t (24) 式中:Ω0为恒定速度值;Ω1为随时间变化的速度幅值。
对圆板非线性振动方程式(19)、式(20)进行伽辽金积分,得到含有静挠度的表达式:
[a1+a2(Ω20+12Ω21)]f0+[a3+a4(Ω20+12Ω21)]g0+a5g20+a6(Ω20+12Ω21)=0 (25) [a7+a8(Ω20+12Ω21)]g0+a9g20+a10g30+a12f0g0+a11(Ω20+12Ω21)+[a12+a13(Ω20+12Ω21)]f0=0 (26) 式中:
a1=B14,a2=−A1R260,a3=8B25R, a4=−11A2R105,a5=2B135R−41B1(1−μ)315R, a6=−A1R320,a7=32B33R2−23B4,a8=−23A3, a9=−4B2(1−3μ)5R2,a10=64B1105R2,a11=−13A2R2, a12=82μ−46315RB1,a13=−11A2R105, B1=∫h/2−h/2E(z,T)1−μ2dz,B2=∫h/2−h/2E(z,T)z1−μ2dz, B3=∫h/2−h/2E(z,T)z21−μ2dz, B4=∫h/2−h/2E(z,T)1−μ[α(z,T)ΔT(z)]dz。 对式(20)伽辽金离散,令ω1t=2τ,q(τ)=g1(τ)h,无量纲后得到含二次与三次方项的变系数横向参数振动微分方程:
¨q+2˜ξ˙q+ω20q+(˜η1cos2τ+˜η2cos4τ)q+˜η3q2+˜η4q3+˜η5cos2τ+˜η6cos4τ=0 (27) 式中:
˜ξ=b1ω1,ω20=4b4+4b5(Ω20+12Ω21)ω21,ξ=˜ξε,ηi=˜ηiε,i=1,2,3,4,5,6, ˜η1=8Ω0Ω1b5ω21,˜η2=2Ω21b5ω21,˜η3=4b2hω21, ˜η4=4b3h2ω21,˜η5=8Ω0Ω1b6ω21h,˜η6=2Ω21b6ω21h, b1=3ζR23A1R2+20A3,b3=128B121A1R4+140A3R2, b2=−24B2(1−3μ)3A1R4+20A3R2+384B1g021A1R4+140A3R2, b4=320B3−20B4R2R2(3A1R2+20A3)+384B1g2021A1R4+140A3R2− 48B2(1−3μ)g03A1R4+20A3R2+(164μ−92)B1f063A1R3+420A3R, b5=20A33A1R2+20A3,b6=−20A3g0−10A2R23A1R2+20A3。 2.2 多尺度法求解非线性方程
通过验证,方程一次线性项远远大于方程二次和三次非线性项,因此振动系统呈弱非线性。引入小参数ε,代入式(27)得到:
¨q+2εξ˙q+ω20q+(εη1cos2τ+εη2cos4τ)q+εη3q2+εη4q3+εη5cos2τ+εη6cos4τ=0 (28) 当固有频率ω0趋近于1与2时,系统将产生两种主参数共振。
2.2.1 ω0≈1情形
引入调谐参数σ,设ω0与1的差别为小参数ε的同阶小量,写为:
ω0=1+εσ (29) 应用多尺度法[26]进行一次近似求解,引入不同尺度的时间变量,Tn=εnτ(n=0,1)。一次近似解设为:
q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1) (30) 将式(29)、式(30)代入式(28),令ε的同阶次幂项系数相等,得到以下的偏微分方程组:
D20q0+q0=0 (31) D20q1+q1=−2D0D1q0−2ξD0q0−2σq0−(η1cos2τ+η2cos4τ)q0−η3q20−η4q30−η5cos2τ−η6cos4τ (32) 式中:D0=∂∂T0;D1=∂∂T1;D20=∂2∂T20。
式(31)的解为:
q0=S1(T1)exp(iT0)+¯S1(T1)exp(−iT0) (33) 式中:i为虚数单位,i2=−1。
将式(33)代入式(32)中,为消除久期项,令:
−2iS′1(T1)−2ξiS1(T1)−2σS1(T1)−η12¯S1(T1)−3η4S21(T1)¯S2(T1)=0 (34) 复函数S1表示为:
S1=12a(T1)exp[iφ(T1)] (35) 将式(35)代入式(34)并进行虚实分离后得到系统在稳态运动下(a′=0,φ′=0)的幅频响应方程为:
(ξa)2+(σa+38η4a3)2=(14η1a)2 (36) 考虑稳态解中存在着不收敛的解,因此对系统的稳态解进行稳定性分析。根据Lyapunov稳定性近似理论和Routh-Hurwitz判据,可得稳态解稳定的充要条件为:
3η42a20(3η48a20+σ)>0 (37) 2.2.2 ω0≈2情形
同理,ω0与2的差别为小参数ε的同阶小量,写为:
ω0=2+εσ (38) 同样应用多尺度方法进行求解,可得消除久期项的条件:
−4iS′1(T1)−4ξiS1(T1)−4σS1(T1)−η22¯S1(T1)−3η4S21(T1)¯S1(T1)−η52=0 (39) 将式(33)代入式(39)进行虚实分离后,能够得到系统在稳态运动下的幅频响应方程:
η25[(σ+316η4a2−18η2)2+ξ2]=16a2[ξ2+(σ+316η4a2)2−(18η2)2]2 (40) 同理,依据Lyapunov稳定性近似理论和Routh-Hurwitz判据,得到稳态解稳定的充要条件为:
η54a0sinφ0+2ξ>0 (41) (38η4a0−η54a20cosφ0)(σa0+316η4a30)+ξη52a0sinφ0>0 (42) 3 算例分析
针对温度场中由不锈钢和氮化硅材料制成的功能梯度圆板进行算例分析。本文功能梯度圆板不变的参数有:半径取R=0.6 m,厚度h=0.004 m,取泊松比μ=0.3,线性阻尼系数ζ=0.01 N/(m⋅s),环境初始温度T=300 K,幂律指数取n=6,氮化硅密度ρc=2370 kg/m3,不锈钢密度ρm=8166 kg/m3,与温度有关密切相关的热物参数由文献[27]给出。
3.1 ω0≈1情形
3.1.1 幅频响应规律
图2是根据式(36)得到的二维幅频曲线图,图中实线部分是稳定解,虚线部分是不稳定解,根据式(37)判断系统稳定性。图2(a)、图2(b)、图2(c)分别为板厚h、陶瓷侧温度T21、转速Ω0对幅频特性的影响。图像趋势偏向调谐参数减小一侧,所以系统呈软弹簧特性。图2(a)表明:板厚增加,系统刚度增大,因此图像振幅减小。图2(b)表明:陶瓷侧温度T21升高,图像显示向非线性减弱方向偏移,即图像趋向于竖直方向。这是由于固有频率减小,刚度项减小;静挠度增大,非线性项减小,这些因素耦合在一起。图2(c)表明:转速增大引起静挠度增大,非线性项减小,因此系统非线性减弱,这两者对系统作用,最终随转速增大,图像向右上方偏移。图2中稳定解交于一点,这是由于当板厚增加、温度降低、常转速减小时,固有频率增大。式(29)表明:一方面,在固有频率增大时必有调谐值增大,因此无解区域增大,稳定解幅值为0时,从调谐值增大处出现;另一方面,非线性项增大,图像弯曲程度增大,所以交于一点。图3是对应图2的临界值分岔图,随板厚增大、温度升高、转速降低,单值解区域减小,多值解和无值解区域增大。
图4是幅频图和动相轨迹图。图4(a)中实线为稳定解,虚线为不稳定解,参数取Ω0=7000 r/min,Ω1=500 r/min,T21=300 K。图4(b)、图4(c)调谐参数值分别取εσ=−4×10−7、εσ=−3×10−5,图中箭头指向即为系统运动方向,焦点S1对应图4(a)中的实线稳定解,鞍点对应图4(a)的虚线不稳定解。图4(a)在调谐参数值为−4×10−7时,系统只有一个稳定解,幅值为0.0033,所得结果对应图4(b)中的S1。在调谐参数值为−3×10−5时,有两个解,值分别为0.0176、0.0184,结果对应图4(c)。
3.1.2 振幅-转速变化规律
图5是调谐参数εσ=0时振幅随时变转速变化规律图。图5(a)、图5(b)、图5(c)分别取转速Ω0=5000 r/min、Ω0=7000 r/min、Ω0=9000 r/min,金属侧温度T11=350 K,图中只有稳定解,图5表明,常转速增大,系统的共振幅值在增大,与图2(c)对应,只有单值稳定解。当时变转速幅值从0增大时,系统共振幅值在增大,三组陶瓷侧不同温度变化表明,随着温度升高,振幅增大,无解区域增大,但是当时变转速增大到一定值时,温度变化对共振幅值影响逐渐减小,当时变转速增大到一定数值,温度变化对系统幅值几乎没有影响,这是由于温度增大,圆板软化易变形,但转速增大,系统刚度增大,抗变形能力增强,这两者共同作用。
图6是调谐参数εσ=−6×10−6时振幅随时变转速变化规律图。图6(a)、图6(b)、图6(c)分别取转速Ω0=5000 r/min、Ω0=7000 r/min、Ω0=9000 r/min,金属侧温度T11=350 K,图中实线是幅值稳定解,虚线是幅值不稳定解。图6表明:转速增大,系统的幅值增大;温度升高,振幅增大,无解区域增大,随着时变转速增大到一定程度,温度对振幅影响逐渐减小。
3.2 ω0≈2情形
3.2.1 幅频响应规律
图7是二维幅频图,图中实线是稳定解,虚线是不稳定解,根据式(41)和式(42)判断系统稳定性,图7(a)、图7(b)、图7(c)分别研究转速Ω0、陶瓷侧升高温度与降低温度T21对系统幅频特性的影响。图7(a)中图像呈软弹簧特性,调谐参数从正值向负值变化,系统由一个稳定解变为两个稳定解和一个不稳定解,当常转速增大,系统共振区域不断外扩,上支稳定幅值解增大,不稳定幅值解减小,并且转速增大,单值解对应的区域在增大,多值解对应的区域在减小。图7(b)表明,当陶瓷侧温度升高时,固有频率先减小后增大,非线性项先增大后减小,刚度项和非线性项共同作用于系统,受非线性项影响更大,因此系统在温度升高时,图像先向左下压再向右偏移,这就形成了交点。图7(c)是圆板陶瓷侧温度降低,系统固有频率增大,刚度增大,静挠度减小引起非线性项减小,图像向右偏移。
图8是幅频响应图与动相轨迹图,图8(a)中实线部分为稳定解,虚线部分为不稳定解,参数取Ω0=3000 r/min,Ω1=500 r/min。图8(b)、图8(c)分别取调谐参数值εσ=0、εσ=−0.017,图中箭头指向即为系统运动方向。焦点S1与焦点S3对应图8(a)中的实线稳定解,鞍点S2对应图8(a)中的虚线不稳定解。在调谐参数值为0时,系统只有一个稳定解,值为0.2506,对应图8(b)中的焦点S1。在调谐参数为−0.017时,系统存在三个解,值为0.130、0.289、0.419,分别对应图8(b)中S1、S2、S3。
3.2.2 振幅-转速变化规律
图9是系统不同参数振幅与转速变化规律图,分别研究常转速Ω0(T21=300 K,εσ=−0.03)、调谐参数εσ(Ω0=3000 r/min,T21=300 K)、温度变化T21(Ω0=3000 r/min,εσ=−0.03)与时变转速对系统振幅的影响,图9表明:随着时变转速增大,系统振幅增大。图9(a):当常转速增大,系统稳定解增大,不稳定解减小,固有频率减小,静挠度增大,非线性项增大。图9(b)表明:调谐参数值取非负数时,系统只有单值稳定解,并且调谐参数值越小,振幅越大,调谐参数取负值时,系统有两个稳定解和一个不稳定解。图9(c)表明:圆板陶瓷侧温度升高时,振幅先增大后减小。
3.2.3 系统动力学响应分析
图10是不同调谐参数下系统动力响应图中的时程图,图11是对应图10的相图,其他参数取Ω0=2000 r/min,Ω1=500 r/min,T11=350 K,T21=1150 K。由图可知,在调谐参数值εσ=0下系统是单倍周期运动状态,时程图中振幅不变;相图呈现为椭圆形。调谐参数向负方向取值,当调谐参数值εσ=−0.096时系统呈现概周期运动状态,时程图振幅按一定规律波动;相图为不同长轴、相同圆心的椭圆形叠加。调谐参数值继续向负方向增加,直到调谐参数εσ=−0.98时,系统进入混沌运动状态。此调谐参数值下时程图振幅值变化没有规律并且无界;相轨迹由没有规律的很多闭合圆相套。
3.3 解析解与数值解对比
图12与图13是幅频图与时程图,图12(a)与图13(a)是用多尺度法求解得到的系统幅频方程曲线图,图12(b)、图12(c)与图13(b)、图13(c)中的虚线与实线分别是用多尺度求解得到的解析解与数值解。从图12(a)中取调谐参数值εσ=4×10−7、εσ=−4×10−5,即点S1与点S2进行验证,图12(b)、图12(c)表明,数值解与解析解基本吻合。从图13(a)中取调谐参数值εσ=−0.02时,对两个稳定解S1和S2进行验证,由图13(b)、图13(c)得到,解析结果与数值结果基本相同,验证了本文方法的准确性。
4 结论
本文研究了转速随时间变化的夹支功能梯度圆板的主参数共振问题,得到两种共振状态下的幅频方程,并对这两种共振状态分别做算例分析。得到以下结果:
(1) 以转速作为参数激励,当参数激励频率与系统固有频率的二倍接近时,系统发生两种主参数共振情况,即无量纲后的固有频率接近于1和2。两种情况的幅频曲线都呈现“软弹簧”特性,且第二种情况参数激励激发共振更明显;
(2) 圆板不同参数变化和温度场对振幅影响很大。ω0≈1时,共振幅值随着圆板板厚减小、转速增大、升高和降低温度而变大。ω0≈2时,转速增大,振幅两个稳定解增大,不稳定解减小,共振区域增大。升温时,受刚度项和非线性项的共同影响,系统振幅先减小后增大;
(3) 调谐参数为非负值时,系统只有单值解,调谐参数为负值并向负值方向增加时,系统出现多值解并且共振幅值增大。增大圆板转速会弱化陶瓷侧温度升高带来的影响,即增大转速,圆板刚度增大,可以减小温度升高带来的振动幅值;
(4) ω0≈2时示例表明,系统存在不同运动状态,在调谐参数值从0向负方向增加时,系统呈现单倍周期运动,当调谐参数值进一步向负值增大时系统出现混沌运动。
-
-
[1] GUNES R, REDDY J N. Nonlinear analysis of functionally graded circular plates under different loads and boundary conditions [J]. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2008, 8(1): 131 − 159. doi: 10.1142/S0219455408002582
[2] WANG Y, XU R Q, DING H J. Free axisymmetric vibration of FGM circular plates [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2009, 30(9): 1077 − 1082. doi: 10.1007/s10483-009-0901-x
[3] WANG Y, XU Q R, DING H J. Analytical solutions of functionally graded piezoelectric circular plates subjected to axisymmetric loads [J]. Acta Mechanica, 2010, 215(1/2/3/4): 287 − 305.
[4] KERMANI D I, GHAYOUR M, MIRDAMADI H R. Free vibration analysis of multi-directional functionally graded circular and annular plates [J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2012, 26(11): 3399 − 3410. doi: 10.1007/s12206-012-0860-2
[5] DAI H L, DAI T, YANG L. Free vibration of a FGPM circular plate placed in a uniform magnetic field [J]. Meccanica, 2013, 48(10): 2339 − 2347. doi: 10.1007/s11012-013-9752-5
[6] JAVAHERI R, ESLAMI M R. Thermal buckling of functionally graded plates [J]. AIAA Journal, 2002, 40(1): 162 − 169. doi: 10.2514/2.1626
[7] NAJAFIZADEH M M, ESLAMI R M. First-order-theory-based thermoelastic stability of functionally graded material circular plates [J]. AIAA Journal, 2012, 40(7): 1444 − 1450.
[8] REDDY J N, WANG C M, KITIPORNCHAI S. Axisymmetric bending of functionally graded circular and annular plates [J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 1999, 18(2): 185 − 199. doi: 10.1016/S0997-7538(99)80011-4
[9] RAD A B. Thermo-elastic analysis of functionally graded circular plates resting on a gradient hybrid foundation [J]. Applied Mathematics and Computation, 2015, 256: 276 − 298. doi: 10.1016/j.amc.2015.01.026
[10] 柏冬军, 石广玉. 压电功能梯度层合梁的力-电-热耦合梁单元及最优振动控制[J]. 工程力学, 2023, 40(3): 14 − 26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2021.09.0699 BAI Dongjun, SHI Guangyu. Piezothermoelastic coupling beam element and optimal vibration control of piezoelectric functionally graded beams [J]. Engineering Mechanics, 2023, 40(3): 14 − 26. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2021.09.0699
[11] ZHANG W, LIU G, SIRIGULENG B. Saturation phenomena and nonlinear resonances of rotating pretwisted laminated composite blade under subsonic air flow excitation [J]. Journal of Sound and Vibration, 2020, 478: 115353. doi: 10.1016/j.jsv.2020.115353
[12] ZHANG Y F, NIU Y, ZHANG W. Nonlinear vibrations and internal resonance of pretwisted rotating cantilever rectangular plate with varying cross-section and aerodynamic force [J]. Engineering Structures, 2020, 225: 111259. doi: 10.1016/j.engstruct.2020.111259
[13] CHEN S P, ZHANG D J, QIAN Y H. Stability and bifurcation analysis of a nonlinear rotating cantilever plate system [J]. Symmetry, 2022, 14(3): 629. doi: 10.3390/sym14030629
[14] ZHAO T Y, WANG Y X, PAN H G, et al. Analyticalsolution for vibration characteristics of rotating graphenenanoplatelet-reinforced plates under rub-impact andthermal shock [J]. Advanced Composites Letters, 2020, 29: 1 − 15.
[15] HU Y D, WANG T. Nonlinear free vibration of a rotating circular plate under the static load in magnetic field [J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 85(3): 1825 − 1835. doi: 10.1007/s11071-016-2798-x
[16] HU Y D, LI W Q. Study on primary resonance and bifurcation of a conductive circular plate rotating in air-magnetic fields [J]. Nonlinear Dynamics, 2018, 93(2): 671 − 687. doi: 10.1007/s11071-018-4217-y
[17] HU Y D, LI W Q. Magnetoelastic axisymmetric multi-modal resonance and Hopf bifurcation of a rotating circular plate under aerodynamic load [J]. Nonlinear Dynamics, 2019, 97(2): 1295 − 1311. doi: 10.1007/s11071-019-05049-8
[18] ZAJACZKOWSKI J. An approximate method of analysis of parametric vibration [J]. Journal of Sound and Vibration, 1981, 79(4): 581 − 588. doi: 10.1016/0022-460X(81)90468-5
[19] CHEN W R, CHEN C S, SHYU J H. Stability of parametric vibrations of laminated composite plates [J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 223: 127 − 138. doi: 10.1016/j.amc.2013.07.095
[20] HU Y D, ZHANG Z Q. The bifurcation analysis on the circular functionally graded plate with combination resonances [J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 67(3): 1779 − 1790. doi: 10.1007/s11071-011-0105-4
[21] TYLIKOWSKI A, FRISCHMUTH K. Stability and stabilization of circular plate parametric vibrations [J]. International Journal of Solids and Structures, 2003, 40(19): 5187 − 5196. doi: 10.1016/S0020-7683(03)00263-4
[22] OUYANG H, MOTTERSHEAD J E. Optimal suppression of parametric vibration in discs under rotating frictional loads [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2001, 215(1): 65 − 75.
[23] KURPA L V, MAZUR O S, TKACHENKO V V. Parametric vibration of multilayer plates of complex shape [J]. Journal of Mathematical Sciences, 2014, 203(2): 165 − 184. doi: 10.1007/s10958-014-2098-2
[24] SHEN H S. Nonlinear vibration of shear deformable FGM cylindrical shells surrounded by an elastic medium [J]. Composite Structures, 2012, 94(3): 1144 − 1154. doi: 10.1016/j.compstruct.2011.11.012
[25] 周凤玺, 蒲育. 热-力-粘弹耦合多孔FGVM梁的动力学特性[J]. 工程力学, 2021, 38(2): 16 − 26. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0235 ZHOU Fengxi, PU Yu. Dynamic behaviors of porous FGVM beams subjected to thermal mechanical viscoelastic effects [J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(2): 16 − 26. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.04.0235
[26] NAYFEH A H, MOOK D T. Nonlinear oscillations [M]. Hoboken: John Wiley & Sons, 1995: 131 − 132.
[27] 王永刚, 胡宇达, 徐浩然. 谐变力作用功能梯度旋转圆板强非线性主共振[J]. 工程力学, 2022, 39(11): 31 − 41. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2021.07.0498 WANG Yonggang, HU Yuda, XU Haoran. Strong nonlinear primary resonance of rotating functionally graded circular plates under harmonic force [J]. Engineering Mechanics, 2022, 39(11): 31 − 41. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2021.07.0498