STUDY ON THEORETICAL MODEL OF LATERAL RESISTANCE FOR ROCKING WOODEN COLUMN WITH LATERAL INCLINED ANGLE CONSIDERING INITIAL INCLINATION
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摘要:
侧脚是古建筑木结构中木柱的一种独特营造方式，是木柱受力性能分析不可忽略的影响因素。与直立木柱相比，带侧脚木柱的抗侧力不再关于柱轴线对称，直立木柱的抗侧力以及柱脚的弯矩不再适用于评估带侧脚木柱的受力性能。因此，该文通过分析带侧脚木柱的摇摆过程，根据变形协调和弯矩平衡条件，提出了带侧脚木柱在摇摆状态下木柱抬升的临界条件以及柱脚在全压和偏压两种工作状态下的剩余弯矩和抗侧力的计算公式。基于《营造法式》确定了木柱侧脚的大小，通过ABAQUS建立了侧脚为0.01 rad的木柱数值模型，通过对比带侧脚木柱的理论模型和精细化数值模拟，发现理论模型与模拟结果吻合较好。结果表明：带侧脚的木柱正向(倾斜方向)抗侧力比直立木柱的降低21%。研究成果对古建筑木结构抗震性能分析具有重要理论意义和工程应用价值。
Abstract:The lateral inclined angle is a unique construction method for the wooden column in the ancient wooden structure, it is an important factor that cannot be ignored in the analysis of the mechanical performance of the wooden column. Compared with the vertical column, the lateral force of the column with lateral inclined angle is no longer symmetrical about the vertical axis of the column, and the lateral force and the restoring bending moment of the vertical column are not suitable for evaluating the mechanical performance of the column with lateral inclined angle. By analyzing the rocking process of the column with lateral inclined angle, the conditions of deformation coordination and bending moment balance conditions, the critical conditions of the lifting of the column with lateral inclined angle during positive and negative rocking are proposed. And the calculation formula for the residual bending moment of the column foot and lateral resisting force of column in the full compression and bias compression working states are proposed. The lateral inclined angle of the column is determined by the grounds of the 'Ying Zao Fa Shi'. The numerical simulation model of the column with a lateral inclined angle of 0.01 rad is established by ABAQUS. The theoretical results are verified up on the numerical simulation of the column with lateral inclined angle. The results show that the positive (in the inclined direction) lateral resistance of the column with lateral inclined angle is 21% lower than that of the vertical column. The research results have an important theoretical significance and engineering application value for the seismic performance analysis of columns in ancient wooden structures.
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侧脚(图1)是古建筑木结构在营造时经常采用的一种做法，宋《营造法式》卷五中规定：“凡立柱，并令柱首微收向内，柱脚微出向外，谓之侧脚。”[1] ，侧脚是指柱底向外移动一定的尺寸的一种做法。侧脚这一独特构造措施使木构架具有独特的抗倾覆能力。与直立木柱构成的木构架相比，侧脚使得古建筑木构架在立面上保持更加良好的稳定性，并使榫卯节点挤紧并增强抗侧刚度，改善了结构传力路径。屋盖梁架等传来的竖向荷载也可使榫卯互相挤紧，使得带侧脚的木构架抗倾覆能力增加。鉴于古建筑木结构作为摇摆结构的起源，而侧脚是影响其安全性与稳定性重要因素，有必要研究带侧脚木柱的抗侧力以及柱脚的剩余弯矩模型，以评估其安全性及稳定性。
目前，关于古建筑木结构受力性能理论分析的研究较多，木柱作为传统木结构中的重要组成单元，其受力性能对结构整体抗震性能影响很大，国内外学者对柱脚抗震性能进行了一系列研究。在柱脚节点的摩擦滑移特性研究方面，张锡成等[2]通过柱础滑移隔震空间杆系有限元模型，提出了柱脚滑移倒塌的相对位移判定准则。在叉接榫卯柱脚抗侧性能方面，吴亚杰等[3]根据变形协调和弯矩平衡条件，提出了柱脚叉接榫卯连接木框架抗侧荷载-位移关系的曲线模型。在木柱转动性能研究方面，吴亚杰等[4]研究了不同楼层柱脚节点的力学性能，建立了多层木结构柱脚节点简化力学模型。潘毅等[5]建立了柱脚节点的弯矩-转角模型。MAENO等[6 − 8]通过试验，分析了柱摇摆过程中柱脚转动产生的柱脚和柱头弯矩共同构成了柱摇摆恢复弯矩，MAEDA[9]指出木柱在转动过程中柱脚和础石之间会产生不均匀嵌压现象。张风亮等[10]通过对柱架受力机理进行分析，得出在水平反复荷载作用下柱架的受力变形以侧移为主，柱摇摆产生的埋置嵌入作用是柱架产生抵抗弯矩的根本原因，并结合试验提出水平反复荷载作用下古建筑木结构柱架抗侧弯矩的理论计算公式。贺俊筱等[11 − 13]针对搁置于础石上的足尺木柱进行了试验研究与理论分析，发现在反复荷载下木柱以柱脚为圆心摆动出现摇摆现象，提出木柱摇摆运动机理，通过理论分析得到柱脚抬升判定条件，并通过试验验证了柱脚抬升判定条件的正确性。王娟等[14]建立了摇摆柱抗侧力-柱头水平位移力学模型，并通过与数值计算结果及已有理论模型的对比验证了所提出模型的有效性。关于加固木柱的抗震性能研究方面，阿斯哈等[15]通过对外包碳纤维木柱的试验，发现加固木柱的破坏表现为底部受拉侧木材纤维的断裂。
综上，国内外研究学者已经开展了大量关于古建筑木结构木柱的受力性能等方面的研究，指出柱脚具有滑移隔震的效果，以及木柱在摇摆过程中柱脚产生的恢复弯矩是柱架抗侧能力的重要组成部分之一。但仍存在以下问题：古木建筑柱脚节点力学性能会由于倾斜而有所变化，但以上研究较少关注倾斜对木柱抗侧能力的影响研究，所以缺乏描述考虑初始倾斜的带侧脚木柱的抗侧力-水平位移力学模型和柱脚剩余弯矩力学模型。
因此，本文通过分析带侧脚木柱摇摆状态，给出其全截面受压和偏压抬升两种工作状态的判定条件。提出不同工作状态下的考虑侧脚的木柱抗侧力-水平位移和剩余弯矩-转角的理论模型，并通过与数值模拟结果对比，验证理论模型的有效性。所建立的考虑侧脚摇摆木柱抗侧力理论力学模型对木构架整体抗侧机理分析尤为重要，可服务于我国古建筑木结构的保护和发展。
1 木柱受力状态
在古建筑木结构中，木柱柱头通过暗销上承斗拱，或者直接承托梁架，柱间通过枋相连，围成柱架。木柱承受的荷载主要来自上部结构传来的竖向荷载以及水平联系构件传来的水平荷载，所以木柱的约束条件可简化为柱头承担的竖向荷载和水平荷载[16 − 17]。柱底直接平摆浮搁于柱础之上，在外部水平荷载的作用下会产生反复摇摆。假定柱脚不产生滑移，伴随着柱摇摆现象，柱脚会绕边缘发生抬升，柱脚转动支点左右交替变换如图2、图3所示，柱脚出现反复抬升和回位。
如图4所示，首先对木柱进行受力分析，在竖向荷载N和水平荷载P的作用下，柱底会产生水平摩擦力F和竖向支持力R。以柱底中心点o为原点建立xoy为初始坐标系，y'为带侧脚木柱静止时的轴线，x''o''y''为木柱转动时的坐标系。因为侧脚的存在，木柱在转动过程中，全截面受压时柱底受压面为椭圆形，设木柱侧脚的初始倾斜角为∂，故柱底截面由圆形变为椭圆，椭圆短半径为r，长半径为rcos∂。其中：木柱高度为h；B为柱脚边缘点；木柱转角为θ。在木柱转动过程中，水平荷载P使木柱发生倾覆，荷载P产生的力矩定义为倾覆弯矩，竖向荷载N使木柱保持稳定，竖向荷载N产生的力矩定义为恢复弯矩，恢复弯矩与倾覆弯矩之差可作为木柱稳定性的判定条件，差值称为柱脚剩余弯矩。
对柱脚边缘点B取矩，可得竖向荷载产生的恢复弯矩MN为：
MN=N(rcos∂−htanθ−htan∂) (1) 水平荷载产生的使木柱倾斜的倾覆弯矩MP为：
MP=Ph (2) 根据力矩平衡可得柱脚剩余弯矩Mr为：
Mr=N(rcos∂−htanθ−htan∂)−Ph (3) 根据图5所示的几何关系，柱底边缘受压高度差存在如下关系：
tanθ=(ΔhB−ΔhA)cos∂2r (4) 式中，ΔhA和ΔhB分别为图5中柱底边缘的受压高度。
根据木材应力-应变关系，可知柱底边缘受压高度为：
ΔhB=σmax (5) \Delta {h_A} = \frac{{{\sigma _{\min }}h}}{{{E_{\mathrm{t}}}}} (6) 式中： {\sigma _{\max }} 和 {\sigma _{\min }} 分别为柱底的最大和最小应力；Et为木材顺纹受压弹性模量。
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图 5 柱底边缘受压变形示意图Figure 5. Schematic diagram of compression and deformation of bottom of column将式(5)和式(6)带入式(4)中可得：
\tan \theta = \frac{{({\sigma _{\max }} - {\sigma _{\min }})h\cos \partial }}{{2r{E_{\mathrm{t}}}}} (7) 式中， {\sigma _{\max }} 和 {\sigma _{\min }} 与柱脚的工作状态有关，为求解柱脚的剩余弯矩和木柱抗侧力力学模型，需要首先明确柱脚在反复荷载作用下的工作状态和受力全过程。
2 柱脚工作状态
2.1 全截面受压
初始状态下的柱脚工作状态如图6所示，此时柱底为均匀受压。
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图 6 初始状态下柱脚变形示意图Figure 6. Schematic diagram of initial state of deformation of bottom of column当木柱沿倾斜方向发生转动，设转动的角度为\theta ，随着转动的角度增大柱脚右侧边缘受压，左侧边缘抬升，抬升临界状态的示意图如图7所示。
2.2 偏压抬升
当木柱达到图7所示的抬升临界状态后，柱脚边缘将随着木柱转动抬离柱础发生如图8所示的抬升。
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图 8 偏压抬升状态下变形图Figure 8. Diagram of deformation of bottom of column with lifting under bias compression3 木柱抬升临界状态
由于侧脚的存在，本节把木柱转动分两个方向进行讨论，在木柱沿倾斜方向转动时，抬升临界状态柱脚的变形和受力如图9所示。
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图 9 抬升临界状态柱脚变形及受力图Figure 9. Schematic diagram of deformation and stress of bottom of column under critical state根据木材顺纹受压本构关系，可知柱脚边缘最大应力为：
{q_{\max }} = {E_{\mathrm{t}}}{\varepsilon _{\max }} (8) 式中， {q_{\max }} 和 {\varepsilon _{\max }} 分别为柱脚边缘的最大应力和最大应变。
在木柱抬升临界状态下，柱脚变形的应变为：
{\varepsilon _{\max }} = \frac{{\Delta {h_{\max }}}}{h} (9) 根据图9中的几何关系，可得：
\tan \theta = \frac{{\Delta {h_{\max }}\cos \partial }}{{2r}} (10) 把式(7)和式(8)带入式(6)中，可得：
{q_{\max }} = \frac{{2r\tan \theta E_{\mathrm{t}}}}{{h\cos \partial }} (11) 因此，在木柱顺时针转动(倾斜方向)木柱抬升临界状态下，柱脚受压面上的荷载分布 {q_0} 为：
{q_0}(x) = \frac{{\tan \theta E_{\mathrm{t}}}}{h}\left(x + \frac{r}{{\cos \partial }}\right) (12) 将上部荷载在受压面上的积分，得到顺时针转动木柱抬升临界状态下柱底支持力的表达式为：
R = 2\int_{ - \tfrac{r}{{\cos \partial }}}^{\tfrac{r}{{\cos \partial }}} {{q_0}(x)\sqrt {{r^2} - {{\cos }^2}\partial {x^2}} {\mathrm{d}}x} (13) 式中：2\sqrt {{r^2} - {{\cos }^2}\partial {x^2}} 为柱底截面的纵向长度；\displaystyle\int_{ - \tfrac{r}{{\cos \partial }}}^{\tfrac{r}{{\cos \partial }}} {{q_0}(x){\mathrm{d}}x} 为荷载分布的面积。
由竖向力的平衡，可得：
N = R (14) 在木柱顺时针转动柱底抬升临界状态下木柱转角为：
\tan \theta = \frac{{Nh\cos \partial }}{{\pi {E_{\mathrm{t}}}{r^3}}} (15) 同理可得木柱逆时针转动(倾斜反向)木柱抬升临界状态下，柱脚受压面上的荷载{q_1}分布为：
{q_1}(x) = \frac{{\tan \theta E_{\mathrm{t}}}}{h}\left(\frac{r}{{\cos \partial }} - x\right) (16) 同理可得，逆时针转动木柱抬升临界状态下柱底支持力的表达式为：
R = 2\int_{ - \tfrac{r}{{\cos \partial }}}^{\tfrac{r}{{\cos \partial }}} {{q_1}(x)\sqrt {{r^2} - {{\cos }^2}\partial {x^2}} {\mathrm{d}}x} (17) 则木柱逆时针转动木柱抬升临界状态下木柱转角为：
\tan \theta = \frac{{Nh{{\cos }^2}\partial }}{{\pi {E_{\mathrm{t}}}{r^3}}} (18) \tan {\theta _{{\text{cr}}}} = \dfrac{{Nh{{\cos }^2}\partial }}{{\pi {E_{\mathrm{t}}}{r^3}}} 称为柱脚抬升判定条件。当 \tan \theta {\leqslant} \tan {\theta _{{\mathrm{cr}}}} 时，柱脚未抬升；当 \tan \theta > \tan {\theta _{{\mathrm{cr}}}} 时，柱脚抬升。
4 木柱抗侧力
4.1 全截面受压工作状态
4.1.1 倾斜木柱正向转动
当木柱在顺时针方向转动，即向木柱倾斜方向转动时，柱底变形和柱底应力分布如图10所示。
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图 10 全压状态柱底变形及应力图Figure 10. Diagram of deformation and stress of bottom of column under full compression将柱底受压面上的荷载分布在受压面上积分并对柱脚边缘点B取矩，得到全压状态下的柱脚剩余弯矩 {M_{{\mathrm{r}}}} 表达式为：
{M_{\mathrm{r}}} = 2\int_{ - \tfrac{r}{{\cos \partial }}}^{\tfrac{r}{{\cos \partial }}} {{q_0}(x)\sqrt {{r^2} - {{\cos }^2}\partial {x^2}} } \left( {\frac{r}{{\cos \partial }} - x} \right){\mathrm{d}}x (19) 联立式(3)和式(19)解得木柱在顺时针方向转动全压工作状态下木柱所能承担的水平荷载P为：
P = \frac{{Nr}}{{h\cos \partial }} - N\tan \theta - N\tan \partial - \frac{{8{E_{\mathrm{t}}}{r^4}\tan \theta }}{{3{h^2}{{\cos }^2}\partial }} (20) 4.1.2 倾斜木柱反向转动
当木柱逆时针即沿倾斜方向发生转动时，柱底变形和柱底应力分布如图11所示。
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图 11 全压状态柱底变形及应力分布图Figure 11. Diagram of deformation and stress of bottom of column under full compression将柱底受压面上的荷载分布在受压面上积分并对柱脚边缘点B取矩，得到全压状态下的柱脚剩余弯矩 {M_{\mathrm{r}}} 表达式为：
{M_{\mathrm{r}}} = 2\int_{ - \tfrac{r}{{\cos \partial }}}^{\tfrac{r}{{\cos \partial }}} {{q_1}(x)\sqrt {{r^2} - {{\cos }^2}\partial {x^2}} } \left( {\frac{r}{{\cos \partial }} + x} \right){\mathrm{d}}x (21) 此时木柱受力如图12所示，对柱脚边缘点B取矩，根据力矩平衡可得柱脚剩余弯矩 {M_{\mathrm{r}}} 为：
M_{\mathrm{r}} = N\left( {\frac{r}{{\cos \partial }} - h\tan \theta + h\tan \partial } \right) - Ph (22) 联立式(21)和式(22)解得木柱在逆时针方向全压工作状态下木柱所能承担的水平荷载P为：
P = \frac{{Nr}}{{h\cos \partial }} - N\tan \theta + N\tan \partial - \frac{{8{E_{\mathrm{t}}}{r^4}\tan \theta }}{{3{h^2}{{\cos }^2}\partial }} (23) 4.2 偏压抬升工作状态
4.2.1 倾斜木柱正向转动
当木柱沿顺时针方向，即向木柱倾斜方向继续转动，满足式(18)的判定条件时，柱脚一侧就会发生抬升，如图13所示，此时柱底受压为偏压状态。
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图 13 柱脚偏压抬升示意图Figure 13. Schematic diagram bottom of column with lifting under bias compression在偏压抬升状态下，柱脚的最小应力为0，柱脚的应力分布如图14所示。根据图14中的几何关系及应力-应变关系，此时柱脚转角公式可写为：
\tan \left( {\theta + \partial } \right) = \frac{{{\sigma _{\max }}h}}{{{E_{\mathrm{t}}}{L_\theta }}} (24) ![]()
图 14 偏压抬升状态下变形及应力图Figure 14. Diagram of deformation and stress of bottom of column with lifting under bias compression根据图14的应力分布关系，此时柱脚的应力 {q_2} 分布为：
{q_2}\left( x \right) = \frac{{{\sigma _{\max }}}}{{{L_\theta }}}\left( {x - \frac{r}{{\cos \partial }} + {L_\theta }} \right) (25) 将柱底受压面上的荷载分布在受压面上积分并对柱底边缘B取矩，可得柱脚剩余弯矩 {M_{\mathrm{r}}} 为：
\begin{split} {M_{\mathrm{r}}} =& \frac{{2{\sigma _{\max }}}}{{{L_\theta }}}\int_{\tfrac{r}{{\cos \partial }} - {L_\theta }}^{\tfrac{r}{{\cos \partial }}} {\left( {x - \frac{r}{{\cos \partial }} + {L_\theta }} \right)} \cdot \\& \sqrt {{r^2} - {x^2}{{\cos }^2}\partial } \left( {\frac{r}{{\cos \partial }} - x} \right){\mathrm{d}}x \end{split} (26) 又由竖向力平衡，可知：
N = \frac{{2{\sigma _{\max }}}}{{{L_\theta }}}\int_{\tfrac{r}{{\cos \partial }} - {L_\theta }}^{\tfrac{r}{{\cos \partial }}} {\left( {x - \frac{r}{{\cos \partial }} + {L_\theta }} \right)} \sqrt {{r^2} - {x^2}{{\cos }^2}\partial } {\mathrm{d}}x (27) 联立式(3)、式(26)和式(27)，解得木柱抗侧力为：
P = N\left( {\frac{r}{{h\cos \partial }} - \tan \partial - \tan \theta - \frac{a}{{3h}}} \right) (28) 式中，a = \sqrt {\dfrac{{Nh}}{{r{E_{\mathrm{t}}}\tan \left( {\theta + \partial } \right)}}} 。
4.2.2 倾斜木柱反向转动
同理当木柱沿逆时针方向转动，柱脚发生抬升时柱脚转角公式写为：
\tan \theta = \frac{{{\sigma _{\max }}h}}{{{E_{\mathrm{t}}}{L_\theta }}} (29) 根据力图15所示，柱脚的应力 {q_3} 分布为：
{q_3}\left( x \right) = \frac{{{\sigma _{\max }}}}{{{L_\theta }}}\left( {{L_\theta } - \frac{r}{{\cos \partial }} - x} \right) (30) ![]()
图 15 偏压抬升状态下变形及应力图Figure 15. Diagram of deformation and stress of bottom of column with lifting under bias compression将柱底应力分布在柱脚底面上积分，可得柱脚剩余弯矩为：
{M_{{\mathrm{r}}}} = \frac{{2r{\sigma _{\max }}}}{{{L_\theta }}}\int_{ - \tfrac{r}{{\cos \partial }}}^{{L_\theta } - \tfrac{r}{{\cos \partial }}} {\left( {{L_\theta } - x - \frac{r}{{\cos \partial }}} \right)} \left( {\frac{r}{{\cos \partial }} + x} \right){\mathrm{d}}x (31) 由竖向力平衡，可得：
N = \frac{{2{\sigma _{\max }}}}{{{L_\theta }}}\int_{ - \tfrac{r}{{\cos \partial }}}^{{L_\theta } - \tfrac{r}{{\cos \partial }}} {\left( {{L_\theta } - x - \frac{r}{{\cos \partial }}} \right)} \sqrt {{r^2} - {x^2}{{\cos }^2}\partial } {\mathrm{d}}x (32) 联立式(22)、式(31)和式(32)解得木柱抗侧力为：
P = N\left( {\frac{r}{{h\cos \partial }} + \tan \partial - \tan \theta - \frac{b}{{3h}}} \right) (33) 式中，b = \sqrt {\dfrac{{Nh}}{{r{E_{\mathrm{t}}}\tan \theta }}} 。
5 数值模拟
5.1 模型验证
利用ABAQUS有限元计算软件建立带侧脚木柱的数值计算模型，对提出的力学模型有效性进行验证。根据《营造法式》中规定宋代建筑的外檐柱在前后檐方向上向内倾斜柱高的1%，建立侧脚为0.01 rad的木柱(图16)，模型参数依据参考文献[11]，采用正交各向同性弹塑性模型，强度选取木材顺纹抗压强度34.76 MPa，顺纹弹性模量取8.856 GPa，础石的弹性模量大约为木材的10倍，取88.56 GPa，泊松比为0.19。木柱半径r取值为195 mm，高度h取值2750 mm，竖向荷载取35 kN。网格划分采用图17示划分方式，把木柱浮搁装配到础石上，柱底和础石之间法向和切向分别采用“硬”接触和罚摩擦，摩擦系数取0.5的方式连接[11]，础石直接埋置于台基中，其连接方式为固支，故在数值模拟中锁定础石的六个自由度[16]在柱顶中心点添加参考点，并耦合柱顶面，竖向荷载和水平位移施加在参考点上。
建立相同尺寸和材性的直立木柱作为对照，直立木柱模拟结果与文献[11]中吻合，说明模拟结果具有参考性。为研究侧脚对木柱的影响，并验证力学模型有效性，对模型施加单向水平位移，从0 mm开始逐级加载，位移级差为10 mm，直至100 mm结束加载。将计算得到的水平抗侧力-位移曲线与模拟结果进行对比，得到如图18所示的曲线对比情况，发现曲线吻合良好。
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图 18 倾斜木柱抗侧力-水平位移模型曲线Figure 18. Curve of lateral resisting force-horizontal displacement of inclined column如图18所示，将倾斜木柱的理论计算结果、数值模拟结果和直立木柱的数值结果进行对比，发现直立木柱的抗侧力关于木柱轴线对称，带侧脚木柱正负向的抗侧力与直立木柱的相比，表现出明显差异。其中木柱在初始倾斜方向上的最大抗侧力削减0.47 kN，约占直立木柱最大抗侧力的21%；木柱在与初始倾斜方向相反的方向转动时，其最大抗侧力增加0.03 kN，约占直立木最大抗侧力的1.4%。
从图18中还可以看出，在木柱倾斜方向转动时，柱脚的抬升临界点接近于原点，也就是说由于侧脚的存在，导致木柱在倾斜方向开始转动时，柱脚就发生抬升。在木柱倾斜反向转动时，木柱抬升临界点远离于原点，说明木柱在倾斜反向转动时，柱脚更不易抬升。
将图18中带侧脚木柱和直立木柱的峰值抗侧力点与坐标原点连线的斜率看做木柱的转动割线刚度，通过对比直立木柱和带侧脚木柱的割线刚度，可知带侧脚木柱在侧脚方向最大抗侧力点的刚度为0.18 kN/mm，直立木柱在侧脚方向最大抗侧力点的刚度为0.22 kN/mm，而在侧脚反向侧脚木柱的最大抗侧力点刚度为0.25 kN/mm，直立木柱为0.22 kN/mm，可见侧脚在侧脚方向对木柱是不利的，但在侧脚反向对木柱是有利的。
5.2 恢复弯矩与剩余弯矩分析
如图19所示，将倾斜木柱的理论恢复弯矩、模拟恢复弯矩和直立木柱的模拟恢复弯矩进行对比，发现其中倾斜木柱在侧脚倾斜方向上的最大恢复弯矩要低于直立木柱，其中倾斜木柱比直立木柱的最大恢复弯矩降低13%；木柱在与初始倾斜方向相反的方向转动时，倾斜木柱比直立木柱的最大恢复弯矩增加14%。
如图20所示，将倾斜木柱的理论剩余弯矩、模拟剩余弯矩和直立木柱的模拟剩余弯矩进行对比，发现其中倾斜木柱在侧脚倾斜方向上的最大抗侧力点的剩余弯矩稍高于直立木柱，但相差不大。
5.3 参数分析
带侧脚木柱抗侧性能的主要影响因素包括竖向荷载和侧脚大小等，为研究竖向荷载对结构抗侧力的影响，将竖向荷载缩减为原荷载的0.5倍即17.5 kN，其余条件不变，得到如图21所示的倾斜木柱抗侧力-水平位移模型曲线。经过对比发现木柱倾斜方向和倾斜反向的最大抗侧力均减小46%。
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图 21 不同竖向荷载作用下倾斜木柱抗侧力-水平位移模型曲线Figure 21. Curve of lateral resisting force-horizontal displacement of inclined column under different vertical load为研究倾斜角度大小对木柱抗侧力影响，将宋式作法中侧脚的大小缩小一半，同时为了与直立木柱做对比，分别建立侧脚大小为0 rad、0.005 rad和0.01 rad的模型，得到如图21所示的抗侧力-水平位移模型曲线。对比发现木柱侧脚为0.005 rad时，倾斜方向的最大抗侧力比直立木柱的减少9%；木柱侧脚为0.01 rad时，倾斜方向的最大抗侧力比直立木柱的减少16%。二者在倾斜反向的最大抗侧力分别增加9%和16%。
根据图22的带侧脚木柱和直立木柱的曲线趋势对比可知，带侧脚木柱在倾斜反向的稳定性更高，在侧脚方向稳定性低。
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图 22 不同侧脚大小倾斜木柱抗侧力-水平位移模型曲线Figure 22. Curve of lateral resisting force-horizontal displacement of inclined column with different inclined angle6 结论
本文主要进行了带侧脚木柱在摇摆过程中的抗侧能力研究，主要结论如下：
(1) 根据变形协调和弯矩平衡条件，推导出了在摇摆状态下木柱抬升的临界条件以及柱脚在全压和偏压两种工作状态下能抵抗的水平荷载的计算公式，并通过数值模拟对理论结果进行了验证，发现理论模型与模拟结果吻合较好。
(2) 通过对比倾斜木柱在正反两个方向的抗侧能力，发现木柱正向(倾斜方向)转动时能承受的抗侧力小于负向转动时能承受的抗侧力，二者相差0.4 kN，在模拟结果中也呈现出这样的趋势，表明侧脚对木柱倾斜方向的抗侧力会有一定削减。
(3) 通过对比带侧脚和不带侧脚的木柱的抗侧能力，发现不带侧脚的木柱正反方向抗侧力是对称的，带侧脚的木柱在正向，即木柱倾斜方向的抗侧力比直立木柱削减0.47 kN，约21%。若不考虑侧脚这一构造特征，可显著高估木柱的抗侧能力，这种高估会导致对木柱本身的稳定性错误判断，从而给古木建筑整体稳定性评估带来隐患。
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图 5 柱底边缘受压变形示意图
Figure 5. Schematic diagram of compression and deformation of bottom of column
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图 6 初始状态下柱脚变形示意图
Figure 6. Schematic diagram of initial state of deformation of bottom of column
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图 8 偏压抬升状态下变形图
Figure 8. Diagram of deformation of bottom of column with lifting under bias compression
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图 9 抬升临界状态柱脚变形及受力图
Figure 9. Schematic diagram of deformation and stress of bottom of column under critical state
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图 10 全压状态柱底变形及应力图
Figure 10. Diagram of deformation and stress of bottom of column under full compression
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图 11 全压状态柱底变形及应力分布图
Figure 11. Diagram of deformation and stress of bottom of column under full compression
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图 13 柱脚偏压抬升示意图
Figure 13. Schematic diagram bottom of column with lifting under bias compression
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图 14 偏压抬升状态下变形及应力图
Figure 14. Diagram of deformation and stress of bottom of column with lifting under bias compression
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图 15 偏压抬升状态下变形及应力图
Figure 15. Diagram of deformation and stress of bottom of column with lifting under bias compression
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图 18 倾斜木柱抗侧力-水平位移模型曲线
Figure 18. Curve of lateral resisting force-horizontal displacement of inclined column
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图 21 不同竖向荷载作用下倾斜木柱抗侧力-水平位移模型曲线
Figure 21. Curve of lateral resisting force-horizontal displacement of inclined column under different vertical load
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