NONLINEAR DYNAMIC ANALYSIS OF LARGE FLEXIBLE SPACE TRUSS BASED ON FINITE PARTICLE METHOD
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摘要:
有限质点法(FPM)是一种基于牛顿力学原理的结构动力学分析方法。该文推导了动态问题中运动质点的等效刚度的计算方法，并完善了有限质点法中瑞利阻尼的具体表达。以悬臂梁结构的自由振动为例，验证了本文提出的阻尼力计算公式的准确性。采用有限质点法，研究了展开桁架结构中的结构参数对各阶固有频率的影响，并对大挠性空间桁架结构进行了瞬态动力学分析。结果表明：有限质点法可以有效地考虑拉索的非线性力学特性，并对结构的非线性刚度特性进行分析；斜拉索结构及末端集中质量对结构的固有频率有显著影响。桁架结构振动的衰减主要依靠自身刚度及结构阻尼，但仅依靠结构阻尼可能导致衰减时间过长，使得结构无法快速恢复稳定状态。分析结果也证明了本文提出的有限质点法的瑞利阻尼在动态问题中的稳定性及其对大型空间桁架结构非线性动力学分析的适用性。
Abstract:The finite particle method is a technique used in structural dynamics analysis based on the Newtonian mechanics. This study focuses on developing a method to calculate the equivalent stiffness of moving particles and improving the expression of Rayleigh damping within the finite particle method framework. To validate the accuracy of the proposed damping force calculation formula, a case study was conducted involving the free vibration of a cantilever beam structure. Moreover, this paper investigated how various structural parameters affect the natural frequencies of an unfolded truss structure. Transient dynamic analysis was also performed on a large flexible space truss structure. The results indicate that the finite particle method can effectively consider the nonlinear properties of cables and analyze the nonlinear stiffness characteristics of structures. A cable-stayed structure and a concentrated mass at the end significantly impact the structure’s natural frequency. Although the attenuation of truss structure vibration primarily relies on its stiffness and structural damping, depending solely on structural damping may prolong the time needed to restore the structure to a stable state. The results also demonstrate the stability of the Rayleigh damping of the finite particle method proposed in this paper in dynamic problems and its applicability to nonlinear dynamic analysis of large flexible space truss.
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近年来，空间应用的可展开结构有了长足的发展，这主要是因为它们能够满足大规模部署的需求，同时保持轻量级功能[1 − 3]。空间可展开结构主要由杆、梁、铰链以及弦索结构组成。这类结构的规模较大、结构质量较小且柔度较大，并且由于在轨空间环境的复杂性，易产生复杂的非线性低频振动[4 − 5]。高度非线性的力学特性增加了对大型空间桁架结构动力学建模和分析的复杂性。因此，对于大型空间可展开结构的动力学建模研究已成为航空航天、动力学和控制等领域的研究热点之一[6]。
目前，对于大型空间桁架结构的动力学建模方法主要包括：有限元方法(Finite Element Method, FEM)和绝对节点坐标法(Absolute Nodal Coordinate Formulation， ANCF)[7 − 8]。曾光[9]以典型的桅杆式空间桁架结构为对象，建立了有限元动力学模型，分析了无控状态下桅杆式空间桁架结构的动力学响应。文献[10]采用有限元方法验证了环形桁架结构的尺缩模型的准确性，同时对结构的能量在不同模态之间的转移情况进行了研究。LI[11]研究了含索环形桁架结构的结构动力学特性。SIRIGULENG等[12]建立了环形桁架结构的尺缩模型并进行了振动模态实验，利用有限元模型验证了对应实验模型的动力学特性。GON和KOGISO[13]利用非线性有限元法研究了构件长度和间隙的不确定性对桁架连接杆节点位移的影响。绝对节点坐标法在处理柔性体的大变形和大位移的问题中，体现出了较大的优势，并被成功地应用到大型空间桁架结构的动力学问题的研究中[14]。LI等[15]使用绝对节点坐标法对柔性展开结构在不同温度和空间环境下的动力学响应进行了分析。另一方面，文献[16]运用了ANCF索梁模型和薄膜单元构建了大型空间可展结构的动力学模型，考虑了复杂空间环境对结构的影响，并对薄膜太阳翼结构在轨模态参数进行了辨识。文献[17]使用了绝对节点坐标法来建立了天线可展支撑机构基本模块的动力学方程集与约束方程集，从而实现了对抛物柱面可展支撑机构这类强非线性系统的展开稳定控制。然而，为了得到较高精度的计算结果，采用有限元方法建立的动力学模型通常阶数较高，模型的高复杂度和自由度通常会导致有限元方法应用的困难[18 − 19]。并且，而随着非线性因素的引入，如关节间隙等问题的引入，有限元方法和绝对节点坐标法也都暴露出了建模困难等问题[20 − 22]。
有限质点法(Finite Particle Method, FPM)作为一种结构动力学分析方法，源于Ting于2003年提出的向量式有限元(Vector Form Intrinsic Finite Element, VFIFE)[23]。在该方法中，连续结构被分解为有限数量的质点，结构的形态由这些质点的位置参数描述。这些质点的运动遵循牛顿运动定律，因此结构形态随时间的演变可以被转化为对这些离散质点轨迹的求解问题。研究表明，该方法对于几何非线性[24 − 25]和结构失效[26 − 27]等问题都具有很好的收敛性和有效性。LI等[28]对具有大变形的海洋隔水管在三维空间中的非线性行为进行了分析。CHEN等[29]以大型主动反射器结构为对象，提出了一种基于矢量形式本征有限元(VFIFE)方法的反向数值计算方法，实现了对索网结构张紧过程的模拟。针对结构动力学问题，瑞利阻尼是一种应用广泛的阻尼形式，需要综合考虑结构的质量阻尼和刚度阻尼，然而部分文献在对结构进行动力学分析的过程中仅考虑了结构的质量阻尼或未考虑阻尼力[30 − 32]。对于空间桁架结构而言，刚度阻尼是结构阻尼的重要组成部分。文献[33 − 34]推导出了有限质点法中瑞利阻尼的表达式，但以上瑞利阻尼的建模方法中，尚未考虑离散质点的惯性效应，并且算法稳定性较差，使其应用受到诸多限制。因此，有限质点法在针对大型空间结构的结构动力学问题中还少有应用。
本文基于有限质点法的显式增量求解特性，推导了运动质点等效刚度矩阵的表达式，建立了一种新的瑞利阻尼的计算方法，利用悬臂梁结构验证了阻尼模型的准确性，并建立了可展开桁架结构的动力学模型，系统研究了结构参数对其动力学特性的影响及影响机理；以大挠性空间桁架结构为研究对象，考虑了结构的阻尼效应，对结构进行了瞬态动力学分析，并模拟了结构在空间冲击载荷和微振动载荷下的振动特性，验证了有限质点法在此类结构动力学分析中的有效性。
1 空间桁架结构动力学模型
1.1 空间桁架结构的数学模型
如图1所示为典型的四棱柱臂式可展开桁架结构。该桁架结构可以看作由若干周期性结构单元及末端集中质量构成。臂式桁架结构作为一种典型的卫星结构，其末端需要承载功能结构如天线、雷达等，因此将功能结构等效为集中质量置于桁架结构的末端。周期性桁架结构单元由横梁、纵梁和斜拉索构成，如图1(b)所示。
1.2 有限质点法基本原理
根据有限质点法的定义：一个梁结构，尽管在物理上是连续的，但在处理的过程中依旧可以被离散为有限质点。结构在运动的过程中，离散质点的位置不断发生改变，但连接关系不变。离散质点的位置共同描述了结构在任意时刻的形态。这样就将结构的运动变形问题，转换为了对于离散质点的运动轨迹的求解问题。
1.2.1 运动控制方程
假设结构运动的时间历程由t0→tf。在整个时间历程中，选取一组时间点t0,t1,t2,⋯,ta,tb,⋯,tf，其中时间段ta⩽被称作途径单元。这样，运动质点J在整个时间历程的运动轨迹就可以用一组途径单元来表示。在任意途径单元内，空间点的运动情况遵循牛顿定律。因此，质点的运动控制方程可以表示为：
{{\boldsymbol{M}}_{{J}}}{\ddot{\boldsymbol{ x}}_{{J}}} = {\boldsymbol{F}}_{{J}}^{{\text{ext}}} + {\boldsymbol{F}}_{{J}}^{{\text{int}}} - {\boldsymbol{F}}_{{J}}^{{\text{dmp}}} (1) 式中： \boldsymbol{M}_J 为质点J的广义质量矩阵，包含与其相邻的结构元的等效质量(转动惯量)及质点处的集中质量(转动惯量)；{\ddot{\boldsymbol{ x}}_J}为质点J的广义加速度向量；{\boldsymbol{F}}_J^{{\text{ext}}}为质点J的广义外载荷向量，包含直接作用在质点J的广义外力和作用在结构上的广义等效外载荷；{\boldsymbol{F}}_J^{{\text{int}}}为质点J的广义变形内力向量，包含与质点相连的结构元因变形而产生的变形反作用力之和；{\boldsymbol{F}}_J^{{\text{dmp}}}为质点J的广义阻尼力向量。
1.2.2 单元变形内力
空间梁结构的变形行为包括弯曲、拉伸和扭转，会产生弯矩、轴力和扭矩等多种类型的变形内力。因此，本小节中以空间梁单元为例，阐述有限质点法的内力求解过程中。绳索单元则可以看作空间梁单元的退化单元。
如图2所示，考虑杆件元1 - 2在途径单元{t_a} {\leqslant} t {\leqslant} {t_b}内的运动过程。已知{t_a}时刻杆件元内力状态，求解{t_b}时刻杆件元内力及节点作用力。
首先，计算杆件元在途径单元{t_a} {\leqslant} t {\leqslant} {t_b}内的轴向变形量：
\Delta e = {l_b} - {l_a} = | {{\boldsymbol{x}}_b^2 - {\boldsymbol{x}}_b^1} | - | {{\boldsymbol{x}}_a^2 - {\boldsymbol{x}}_a^1} | (2) 式中：{\boldsymbol{x}}_a^j和{\boldsymbol{x}}_b^j，j = 1,2分别为节点在途径单元初始和结束时刻的位置矢量；\Delta e为杆件元的轴向纯变形量。
其次，计算杆件元节点1、2的纯转动变形量。纯转动变形量为途径单元内节点的转角位移减去刚体转动角位移。节点1、2在途径单元内的转角位移可表示为：
{{\boldsymbol{\beta }}^j} = {\boldsymbol{\theta }}_b^j - {\boldsymbol{\theta }}_a^j{\text{, }}j = 1,2 (3) 式中，{\boldsymbol{\theta }}_a^j和{\boldsymbol{\theta }}_b^j分别为节点在途径单元初始和结束时刻的角位移。将二者转换至{t_a}时刻的主轴坐标系下表示：
\left\{ \begin{aligned} & {{{\hat{\boldsymbol{ \beta }}}^j} = {{\boldsymbol{\varOmega }}_a}{{\boldsymbol{\beta }}^j}} \\ & {{{\hat{\boldsymbol{ \gamma }}}_b} = {{\boldsymbol{\varOmega }}_a}{{\boldsymbol{\gamma }}_b}} \end{aligned}\right.{\text{, }}j{\text{ = 1,2}} (4) 式中： {{\boldsymbol{\varOmega }}_a} 为{t_a}时刻主轴坐标系的转换矩阵； {{\boldsymbol{\gamma }}_b} 为杆件元主轴在途径单元内的转动向量，其可通过下面公式求解：
{{\boldsymbol{\gamma }}_b} = {{\boldsymbol{\gamma }}_{b1}} + {{\boldsymbol{\gamma }}_{b2}} (5) 式中，{{\boldsymbol{\gamma }}_{b1}}为元截面对其法线的转动向量，可由式(6)得到：
{{\boldsymbol{\gamma }}_{b1}} = ( {{\boldsymbol{\beta }}_b^1 \cdot {\boldsymbol{e}}_a^1} ){\boldsymbol{e}}_a^1 (6) 式中，{{\boldsymbol{\gamma }}_{b2}}为元截面的法线的转动向量，可表示为：
{{\boldsymbol{\gamma }}_{b2}} = {\sin ^{ - 1}}( {| {{\boldsymbol{e}}_a^1 \times {\boldsymbol{e}}_b^1} |} )\frac{{{\boldsymbol{e}}_a^1 \times {\boldsymbol{e}}_b^1}}{{| {{\boldsymbol{e}}_a^1 \times {\boldsymbol{e}}_b^1} |}} (7) 节点1、2的在途径单元内的转角纯变形量为：
{\hat{{\bf\textit{φ}}}^j} = {\hat{\boldsymbol{ \beta }}^j} - {\hat{\boldsymbol{ \gamma }}_b} = {[ {\hat \varphi _1^j}\;\;{\hat \varphi _2^j}\;\;{\hat \varphi _3^j} ]^{\text{T}}}{\text{, }}j = 1,2 (8) 式中： \hat \varphi _1^j{\text{, }}j = 1,2 为节点1、2的扭转变形量； \hat \varphi _3^j 和 \hat \varphi _3^j{\text{, }}j = 1,2 为节点1、2的弯曲变形量。
内力增量 \Delta {\hat{\boldsymbol{ f}}^j} = {[ {\Delta \hat f_1^j}\;\;{\Delta \hat f_2^j}\;\;{\Delta \hat f_3^j} ]^{\text{T}}} 和内力矩增量 \Delta {\hat{\boldsymbol{ m}}^j} = {[ {\Delta \hat m_1^j}\;\;{\Delta \hat m_2^j}\;\;{\Delta \hat m_3^j} ]^{\text{T}}}{\text{, }}j = 1,2 可以表示为：
\begin{split} & \Delta {\hat{f}}_{1}^{2}=\frac{{E}_{a}{A}_{a}}{{l}_{a}}\Delta e,\;\Delta {\hat{m}}_{1}^{2}=\frac{{G}_{a}{\hat{J}}_{a}}{{l}_{a}}{\hat{\phi }}_{1}^{2}\\& \Delta {\hat{m}}_{2}^{1}=\frac{{E}_{a}{\hat{I}}_{2a}}{{l}_{a}}(4{\hat{\phi }}_{2}^{1}+2{\hat{\phi }}_{2}^{2}),\;\Delta {\hat{m}}_{3}^{1}=\frac{{E}_{a}{\hat{I}}_{3a}}{{l}_{a}}(4{\hat{\phi }}_{3}^{1}+2{\hat{\phi }}_{3}^{2})\\& \Delta {\hat{m}}_{2}^{2}=\frac{{E}_{a}{\hat{I}}_{2a}}{{l}_{a}}(2{\hat{\phi }}_{2}^{1}+4{\hat{\phi }}_{2}^{2}),\;\Delta {\hat{m}}_{3}^{2}=\frac{{E}_{a}{\hat{I}}_{3a}}{{l}_{a}}(2{\hat{\phi }}_{3}^{1}+4{\hat{\phi }}_{3}^{2}) \end{split} (9) 式中： {\hat I_{2a}} 和 {\hat I_{3a}} 为杆件元对主轴 {\boldsymbol{e}}_a^2 和 {\boldsymbol{e}}_a^3 的平面惯性矩； {\hat J_a} 为对主轴 {\boldsymbol{e}}_a^1 的极惯性矩；{E_a}和 {G_a} 为杆件材料的弹性模量和剪切模量；{A_a}和 {l_a} 为杆件元的截面积和长度。根据杆件元的静力平衡条件，可以得到其余的内力分量：
\begin{split} & \Delta {\hat{f}}_{1}^{1}=-\Delta {\hat{f}}_{1}^{2},\; \Delta {\hat{f}}_{2}^{2}=-\frac{1}{{l}_{a}} (\Delta {\hat{m}}_{3}^{1}+\Delta {\hat{m}}_{3}^{2} ),\; \Delta {\hat{f}}_{2}^{1}=-\Delta {\hat{f}}_{2}^{2}\\& \Delta {\hat{m}}_{1}^{1}=-\Delta {\hat{m}}_{1}^{2},\; \Delta {\hat{f}}_{3}^{2}=+\frac{1}{{l}_{a}} (\Delta {\hat{m}}_{2}^{1}+\Delta {\hat{m}}_{2}^{2} ),\; \Delta {\hat{f}}_{3}^{1}=-\Delta {\hat{f}}_{3}^{2} \end{split} (10) {t_b}时刻杆件元节点1、2受到的变形内力可表示为：
\left\{ \begin{aligned} & {\hat{\boldsymbol{ f}}_b^j = \hat{\boldsymbol{ f}}_a^j + \Delta {{\hat{\boldsymbol{ f}}}^j}} \\ & {\hat{\boldsymbol{ m}}_b^j = \hat{\boldsymbol{ m}}_a^j + \Delta {{\hat{\boldsymbol{ m}}}^j}} \end{aligned}\right.{\text{, }}j{\text{ = 1,2}} (11) 式中： \hat{\boldsymbol{ f}}_a^j 和 \hat{\boldsymbol{ m}}_a^j 分别为{t_a}时刻杆件元节点1、2受到的变形内力； \hat{\boldsymbol{ f}}_b^j 和 \hat{\boldsymbol{ m}}_b^j 分别为{t_b}时刻杆件元节点1、2受到的变形内力。
将{t_b}时刻杆件元节点1、2受到的变形内力由局部坐标系转换至全局坐标系：
\left\{ \begin{aligned} & {{\boldsymbol{f}}_b^j = \left( {{{\boldsymbol{R}}_\gamma }} \right){\boldsymbol{\varOmega }}_a^{\text{T}}\hat{\boldsymbol{ f}}_b^j} \\ & {{\boldsymbol{m}}_b^j = \left( {{{\boldsymbol{R}}_\gamma }} \right){\boldsymbol{\varOmega }}_a^{\text{T}}\hat{\boldsymbol{ m}}_b^j} \end{aligned} \right.{\text{, }}j{\text{ = 1,2}} (12) 式中，{{\boldsymbol{R}}_\gamma }为{t_a}时刻至{t_b}时刻的旋转矩阵。
1.2.3 中央差分法
有限质点法中离散质点的运动行为仅取决于任意途径单元起始时刻所受到的外载荷的具体情况，其运动方程为一常微分方程。中央差分法(Central Difference Method)是一种常用的数值微分方法，用于估算函数在某一点的导数。因此，运动质点的位移可表示为：
\left\{ \begin{aligned} & {x}_{1}={x}_{0}+h{\dot{x}}_{0}+\frac{{h}^{2}}{2}\frac{{F}_{0}}{M}\\& {x}_{n+1}=\frac{{F}_{n}}{M}{h}^{2}+2{x}_{n}-{x}_{n-1},\;\;n{\geqslant} 2 \end{aligned}\right. (13) 式中：h为时间增量步长；{\boldsymbol{M}}为质点的广义质量矩阵；{{\boldsymbol{x}}_n}为质点在第n步的广义位移向量； {{\boldsymbol{F}}_n} 为质点在第n步的广义总载荷向量。
2 瑞利阻尼的构建
瑞利阻尼(Rayleigh damping)是结构动力学中描述结构物体受到外部激励而产生的阻尼的一种常见形式。它是由瑞利(Rayleigh)在1887年提出的，并被广泛应用于工程领域。
瑞利阻尼可以分为两种形式：质量比阻尼和刚度比阻尼。质量比阻尼是由结构的质量和结构的阻尼之间的比率决定的，而刚度比阻尼则是由结构的刚度和结构的阻尼之间的比率决定的。在有限质点法中，离散质点间相互独立。因此，在考虑瑞利阻尼时，运动质点J运动控制方程可以写作：
{{\boldsymbol{M}}_J}{\ddot{\boldsymbol{ x}}_J} = {\boldsymbol{F}}_J^{{int} } + {\boldsymbol{F}}_J^{{\text{ext}}} - {\boldsymbol{F}}_J^{{\text{dmp}}} (14) 式中，{\boldsymbol{F}}_J^{{\text{dmp}}}为广义阻尼力向量，可写作：
{\boldsymbol{F}}_J^{{\text{dmp}}} = \alpha {{\boldsymbol{M}}_J}{{\boldsymbol{\dot x}}_J} + \beta {\boldsymbol{K}}_J^*{{\boldsymbol{\dot x}}_J} (15) 式中：公式右侧第一项表示质量阻尼；\alpha 为质量阻尼系数；公式右侧第二项表示刚度阻尼，\beta 为刚度阻尼系数。
有限质点法的核心是离散质点的点值描述，不需要构建整体结构的刚度矩阵，因此，需要采用等效的方法求解离散质点的等效刚度。如图3所示，为运动质点J在任意自由度上等效刚度的求解方法。质点在任一时间步{t_n}~{t_{n + 1}}内的运动情况可以等效为一简单弹簧系统。质点J在{t_n}时刻受到合力 {F_n} 的作用产生了位移，同时获得了加速度 {\ddot x_{n + 1}} ，该时间步{t_n}~{t_{n + 1}}其运动方程可以表示为：
{{\boldsymbol{F}}_n} - {\boldsymbol{K}}_{{n}}^*\Delta {\boldsymbol{x}} = {{\boldsymbol{M}}_{{J}}}{\ddot{\boldsymbol{ x}}_{n + 1}} (16) 式中：{{\boldsymbol{F}}_n}为质点J在{t_n}时刻受到的总载荷向量，{{\boldsymbol{F}}_n} = {\boldsymbol{F}}_{{J}}^{{\text{ext}}} - {\boldsymbol{F}}_{{J}}^{{{\mathrm{int}}} } - {\boldsymbol{F}}_{{J}}^{{\text{dmp}}}；\Delta {\boldsymbol{x}}为质点J在时间步{t_n}~{t_{n + 1}}的位移向量，\Delta {\boldsymbol{x}} = {{\boldsymbol{x}}_{n + 1}} - {{\boldsymbol{x}}_n}。
因此，等效刚度矩阵 {\boldsymbol{K}}_{{n}}^* 可以表示为：
{\boldsymbol{K}}_{{n}}^* = \left| {{{\boldsymbol{M}}_{{J}}}. \times \left( {{{\ddot{\boldsymbol{ x}}}_n} - {{\ddot{\boldsymbol{ x}}}_{n + 1}}} \right)./\Delta {\boldsymbol{x}}} \right| (17) 将式(17)带入式(15)即可计算质点在结构运动过程中的阻尼力。式(17)中的等效刚度矩阵的求解过程中，考虑了运动质点的惯性力的影响，并且由式(17)计算得到的结果是随着质点的运动历程更新的。换言之，采用有限质点法求得的质点的等效刚度矩阵是非线性的，这一点与传统有限元方法中的线性刚度矩阵是有本质上的区别的。显式积分方法为有限质点法在解决非线性问题时提供了有效的基础。
以悬臂梁结构的自由振动问题为例，验证本文所推导的结构阻尼力的有效性。悬臂梁结构长l=1 m，圆截面直径d=0.01 m，弹性模量E=200 GPa，密度ρ=7900 kg/m3，泊松比υ=0.3。悬臂梁结构左端固支，先将自由端下拉0.05 m，随后释放令结构进行自由振动。假设结构的模态阻尼比为0.05，经计算可得瑞利阻尼参数分别为质量阻尼参数α=3.8141和刚度阻尼参数β=8.1576×10−6。将仿真结果与有限元方法进行比较，如图4所示。
由图4可以看出，当不考虑结构阻尼效应时，悬臂梁结构作近似等幅振荡。对于悬臂梁末端的纵向位移，采用有限质点法得到的计算结果与采用有限元方法得到的计算结果几乎一致。当同时考虑结构的质量阻尼和刚度阻尼时，尽管本分析中采用的刚度阻尼系数较小，但采用有限质点法得到的结果依然与采用有限元方法得到的结果保持了良好的一致性，这说明本文所推导瑞利阻尼的计算方法是合理且准确的。
3 计算实例
3.1 展开桁架结构动力学特性分析
有限质点法作为一种结构动力学分析方法，在建模过程中不需要构建结构刚度矩阵，因此无法通过求解矩阵特征值的方法求解结构的固有频率。
本文采用快速傅立叶变换(FFT)，通过将结构的时域响应结果转换为频域响应结果，识别结构的固有频率。对结构自由端施加方向向下的正弦激励，激励的频率随时间逐渐提高模拟正弦扫频试验，对结构进行瞬态动力学分析，得到自由端的时程曲线。对所得到的时程曲线进行傅立叶变换，即可得到结构的幅频响应。
如图1(a)所示为可展开桁架结构的展开状态示意图。在展开状态下，斜拉索具有预紧力，梁杆单元之间可视为理想固连，末端载荷被视为集中附加质量。该桁架结构每个单元尺寸为0.5 m×0.5 m×0.5 m，由10个桁架单元组成。横梁和纵梁截面外径和内径分别为0.015 m和0.01 m，斜拉索直径为0.002 m。结构左侧四点固定约束。材料参数分别为：梁结构的弹性模量为73 GPa，密度为3000 kg/m3。斜拉索弹性模量为200 GPa，密度为7900 kg/m3。斜拉索的预紧力默认为100 N，末端集中附加质量默认为10 kg。对展开桁架结构进行模态分析，本文中仅讨论结构的弯曲模态。
3.1.1 斜拉索预紧力的影响
如图5所示为不同斜拉索预紧力下展开桁架结构的模态分析结果。可以看出，展开桁架中的斜拉索对结构的固有频率的影响很大。斜拉索的存在极大地提升了结构的刚度，提升了结构的固有频率，斜拉索的预紧力强化了这一影响。
提取不同初始状态下不同部位的斜拉索拉力的时域响应结果，如图6所示。由图6(a)可以看出，在结构的振动过程中，斜拉索在部分时间段内的拉力为零，即斜拉索处于松弛状态未参与工作，这一结果与结构位移响应相吻合。如图6(b)所示，当斜拉索具有初始预紧力时，在结构的运动过程中，斜拉索始终提供拉力，拉力水平随结构的振动情况发生改变。此外还可以观察到，处于结构不同部位的索结构的拉力水平出现明显差异。位于结构中段的索拉力较小，结构自由端和固定端的索拉力较大。
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图 5 不同预紧力下展开桁架模态分析结果Figure 5. Modal analysis results of deployable truss with different pretension由以上结果可知，有限质点法作为一种非线性结构动力学分析方法，通过对其时域响应结果进行幅频特性的提取，可以有效地提取含斜拉索桁架结构的非线性力学性能，这一点是与传统的线性计算方法不相同的。因此，本文中计算得到的桁架结构的模态频率结果可以代表考虑斜拉索非线性特性的结构非线性刚度特性。
3.1.2 末端集中质量的影响
如图7所示为不同末端集中质量下展开桁架结构的模态分析结果。可以看出，末端附加质量对结构的固有频率的影响不可忽略，末端集中质量的增大是结构固有频率降低的主要原因，并且其对结构基频的影响最为严重，例如当集中质量由10 kg提升至20 kg和30 kg时，结构的一阶固有频率由8.10 Hz分别降至6.16 Hz和5.17 Hz，二阶固有频率由47.98 Hz分别降至46.31 Hz和45.45 Hz。
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图 7 不同集中质量下展开桁架模态分析结果Figure 7. Modal analysis results of deployable truss with different lumped mass3.2 大型空间桁架动力学响应分析
3.2.1 桁架结构模型参数
根据文献[9]中的大型空间桁架结构的模型，本文对桁架结构的尺寸和材料属性进行了近似处理和简化，本文中所用到的大型空间桁架结构的几何参数和材料参数分别如表1和表2所示。其中，本文所研究的大型空间桁架结构由50个周期桁架单元组成。
表 1 桁架结构几何参数Table 1. Geometric parameters of truss structure参数 参数值 横梁长度/m 1 纵梁长度/m 1 斜拉索长度/m 1.414 外径/m 0.020 内径/m 0.012 索直径/m 0.002 表 2 桁架结构材料参数Table 2. Material parameters of truss structure参数 参数值 弹性模量/Pa 1.2×1011 泊松比 0.3 密度/(kg/m3) 1500 接头质量/kg 0.5 末端质量/m 200 3.2.2 谐响应分析
对空间桁架结构进行谐响应分析是为了研究桁架结构在受到频率变化的外部激励时的响应情况，进而对桁架结构的动力学特性进行评估。谐响应分析也有助于预测结构的共振频率，从而避免在这些频率下的不良影响，如振动过大或疲劳损伤等。同时，也可以为结构的设计优化和振动控制策略提供指导。如图8为大型空间桁架结构的谐响应分析结果。
由图8所示，空间桁架结构的谐响应频率分别为0.24 Hz、2.08 Hz、5.56 Hz和9.77 Hz，分别对应了结构的前四阶弯曲模态的模态频率。当外界激励的频率与结构的固有频率达到一致时，结构的稳态振幅达到最大值。综合结构的各阶模态频率计算结果可以看出，大型空间桁架结构呈现出固有频率低、各阶模态较为密集的特点，体现出了较大的柔性结构特征。
3.2.3 瞬态动力学分析
假设系统阻尼为瑞利阻尼，取瑞利阻尼参数：α=0.055和β=0.0061。
1)脉冲激励响应
当大型空间桁架结构处于在轨工作状态时，可能会受到空间碎片、微流星的冲击而引发结构振动。这类冲击具有作用时间短、作用力大的特点，可以看作脉冲激励。并且，由于桁架末端的卫星工作载荷附件，诸如太阳能帆板、相控阵雷达等具有面积较大的特点，通常易受到此类冲击载荷的影响。因此，对大型空间桁架结构在脉冲激励下的动力学响应情况进行研究具有十分重要的工程意义。
假设脉冲激励沿空间桁架结构纵向，激励幅值为2 N，作用时间为0.005 s，作用于桁架机构的末端。为了研究外部激励对结构末端功能载荷的影响，选取大型空间桁架结构的末端点作为响应观测点。如图9所示，为响应观测点在脉冲激励载荷下的位移响应曲线。
根据图9所示，在脉冲激励的作用下，大型空间桁架结构发生振动，并通过自身的阻尼逐渐衰减振动。然而，从图9(a)可以观察到，在振动之后的100秒内，结构仍然存在轻微的振荡，表明结构依赖自身的结构阻尼无法迅速将其稳定至静止状态。以上结果也说明，桁架结构振动的衰减主要依靠自身刚度及结构阻尼，但只依靠结构阻尼可能会导致衰减时间过长而结构无法快速恢复稳定状态的结果，故需要考虑对结构施加主被动振动抑制等手段，以使结构获得更大的阻尼，进而实现快速的隔振抑振。
2)简谐激励响应
当卫星处于在轨工作状态时，星载载荷如科学仪器、姿态控制陀螺等会产生微振动。这一类载荷会引起结构整体的振动，进而影响卫星的指向精度等指标。由于这类微振动载荷具有幅值小、持续时间长等特点，因此可以被视作简谐激励。
假设空间桁架结构末端受到正弦激励载荷，幅值为10N，激励频率分别为2 Hz、5 Hz和10 Hz。选取桁架结构的末端作为响应观测点。如图10所示，为响应点在不同频率激励下的位移响应曲线。
如图10所示，当空间桁架结构受到间隙激励时会发生振动。当外部激励的频率接近结构的基频(0.24 Hz)时，结构振动的振幅明显增加，远高于其他外部激励频率下的振幅，可能导致结构共振现象的发生。随着外部激励频率的增加，结构振动的高频部分对结构动力学响应的影响也变得不容忽视。
4 结论
本文推导了有限质点法在动态问题中等效刚度矩阵的计算公式，提出了适用于有限质点法的瑞利阻尼的计算方法。通过悬臂梁结构的自由振动验证了所提出阻尼力计算公式的准确性。本文研究了桁架结构参数对结构固有频率的影响，并对大型空间桁架结构进行了瞬态动力学分析，模拟了在轨冲击载荷和微振动载荷下结构的动力学响应，结果表明：
(1) 本文提出的瑞利阻尼计算方法是有效的。其中，所求得的质点等效刚度矩阵是非线性的，这一点与传统有限元方法中的线性刚度矩阵是有本质上的区别的。
(2) 斜拉索结构能有效提升结构的固有频率，初始预紧力则会强化这一影响。结构末端附加质量对固有频率有显著影响，更大的末端负载会导致固有频率下降。有限质点法在分析结构固有频率时，可以有效考虑斜拉索等具有非线性力学特性的结构元件对结构非线性刚度特性的影响。
(3) 桁架结构振动的衰减主要依赖于自身刚度和结构阻尼，但仅依靠结构阻尼可能导致衰减时间过长，使结构无法快速恢复稳定状态。当外部激励频率与结构的基频相近时，易引发结构的共振现象。
以上结果也证明了本文提出的有限质点法的瑞利阻尼在动态问题中的稳定性及其对大型空间桁架结构非线性动力学分析的适用性。
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图 5 不同预紧力下展开桁架模态分析结果
Figure 5. Modal analysis results of deployable truss with different pretension
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图 7 不同集中质量下展开桁架模态分析结果
Figure 7. Modal analysis results of deployable truss with different lumped mass
表 1 桁架结构几何参数
Table 1 Geometric parameters of truss structure
参数 参数值 横梁长度/m 1 纵梁长度/m 1 斜拉索长度/m 1.414 外径/m 0.020 内径/m 0.012 索直径/m 0.002 
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表 2 桁架结构材料参数
Table 2 Material parameters of truss structure
参数 参数值 弹性模量/Pa 1.2×1011 泊松比 0.3 密度/(kg/m3) 1500 接头质量/kg 0.5 末端质量/m 200
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