SIMPLIFIED CALCULATION METHOD FOR SEISMIC DESIGN FORCE OF BRIDGE PILE-GROUP FOUNDATIONS IN SOFT SOIL
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摘要:
国家住建部《城市桥梁抗震设计规范》CJJ 166−2011在按能力保护构件计算低桩承台基础的设计地震力时，假定承台与地面同步振动并忽略承台侧土抗力，上海市《桥梁抗震设计标准》DG/TJ 08-2440−2023在此基础上考虑了承台侧土抗力的贡献，但尚缺乏对这一方法在软土地基中适用性的论证。为此，该文针对上海地区典型桩基桥梁，考虑土-桩、土-承台非线性动力相互作用，建立软土地基群桩基础桥梁非线性有限元模型并开展增量动力时程分析，分析了承台地震惯性力、承台侧土抗力随墩高和地震动强度的变化规律，揭示了地震作用下桥墩剪力经承台传至基础的传力机制。在此基础上，基于能力设计方法，提出了新的群桩基础设计地震力简化计算方法。与现行规范相比，新的简化计算方法可显著提高软土场地群桩基础的设计地震剪力和弯矩的计算精度，同时具有一定的安全余量。
Abstract:The national "Code for Seismic Design of Urban Bridges" assumes synchronous vibration between pile cap and the ground, ignoring the lateral soil resistance of the pile cap when calculating the seismic design force for low-pile cap foundations based on the capacity protection design principle. The "Standards for Seismic Design of Bridges" of Shanghai considers the contribution of lateral soil resistance of the pile cap on this basis. However, the applicability of this method to soft soil foundations has yet to be demonstrated. Therefore, typical pile foundation bridges in Shanghai are studied, considering the nonlinear dynamic soil-pile and soil-cap interaction. A nonlinear finite element model of pile foundation bridges in soft soil is established, and incremental dynamic time-history analysis is conducted. This analysis investigates the variation of seismic inertia force of the pile cap and lateral soil resistance with pier height and seismic intensity, revealing the force transfer mechanism from the pier to the bottom of the pile cap under seismic excitations. Based on this, a new simplified calculation method for the seismic design force of pile group foundations is proposed using the capacity design method. Compared with the current codes, the new simplified calculation method significantly improves the calculation accuracy of design seismic shear force and bending moment for pile foundations in soft soil, while having a certain margin of safety.
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我国是地震多发国家，随着城市建设的快速发展，城市桥梁抗震问题日益凸显。桩基础是软土地基桥梁广泛采用的基础形式，而且也是桥梁抗震设计的关键构件，对桥梁抗震安全和功能起到重要作用[1]。地震期间，软弱土层的变形和土-结构动力相互作用不可忽略。对于承台埋置于土内的低桩承台基础，土-结构动力相互作用可分为土-桩相互作用和土-承台相互作用。
根据现行《城市桥梁抗震设计规范》(以下简称“住建部规范”)[2]，桩基础应按能力保护原则设计，基础的设计地震力是桥墩传递的最大地震力与承台贡献的直接叠加。计算承台贡献时，只考虑承台的惯性力，并假定承台与地面同步振动，即认为承台峰值加速度与地震动峰值加速度(PGA)相等，同时忽略侧向土体的抗力。软土地基中土-承台的相互作用较坚硬地基更为复杂，假设承台与地面同步振动可能与实际情况不符[3]。为此，近期颁布实施的上海市《桥梁抗震设计标准》(以下简称“上海市地方标准”)[4]在住建部规范的基础上考虑了承台侧土抗力的贡献，但该贡献的取值依据、该贡献与桥墩传递的最大地震力的组合方法，尚缺乏论证。可见，现行规范[2, 4]的简化计算方法会导致多大的误差？如何合理地考虑软土地基承台对桩基础设计地震力的贡献？是亟待研究的关键问题。
解决上述问题需要准确模拟软土场地-桩基础-承台-桥梁系统中的土-桩和土-承台动力相互作用。目前，土-桩-结构相互作用的数值模拟方法主要分为集中六弹簧模型、非线性Winkler地基梁模型[5 − 6]和场地-桩基-桥梁一体化模型[7]。集中六弹簧模型被工程界广泛采用[8]，该方法通常将基础刚度简化为6个自由度的线性弹簧，以地表地震动作为地震输入。由于采用了预先等效的基础刚度，该方法简单易用，但无法实时反映土体、桩基础和结构之间的动力相互作用。Winkler地基梁模型，将桩视作土体中的梁，将土-桩相互作用简化为多个独立的土弹簧，以不同深度土弹簧对应的自由场地震反应作为地震输入，可以模拟土体特性随深度的变化。为模拟场地效应(如河谷、峡谷等起伏地形)，场地-桩基-桥梁一体化模型得以发展[9 − 11]，但该方法计算成本高，且收敛性难以保证。当场地效应影响不显著时(如水平软土场地)，Winkler地基梁模型计算精度足够，物理概念清晰，计算量适中，因此被广泛应用于考虑土-桩相互作用的相关研究[12 − 15]。
需要特别指出的是，非线性Winkler地基梁模型也能有效模拟土-承台的动力相互作用。对于低桩承台基础，只需考虑承台侧水平向p-y弹簧即可有效模拟其在水平地震作用下的动力行为[16]。为提出软土地基桥梁群桩基础设计地震力的合理简化计算方法，首先需要探明地震下墩柱剪力经承台传至基础的传力机制。本文以上海地区典型高架桥为工程背景，建立基于非线性Winkler地基梁模型的桩基桥梁有限元模型并进行地震反应分析。考虑墩高和PGA的变化，研究承台侧土抗力和承台地震惯性力的反应规律，并在此基础上揭示上部结构剪力经承台传至基础的传力机制，提出适用于软土地基的基础设计地震力简化计算方法，并重新审视现行桥梁抗震设计规范中简化计算公式的合理性，为软土场地桥梁群桩基础的能力保护设计提供参考。
1 桩基桥梁有限元模型
上海市地方标准[4]给出了典型高架桥的结构参数，其中立柱高度为0 m~25 m，同时建议，立柱高度10 m以下的桥梁采用减隔震体系。本研究以上海地区(软土地区)的典型高架桥为背景，使用OpenSees有限元仿真平台[17]开展地震反应分析。上海典型高架桥的桥面宽度为25.5 m，设计采用双向6车道，单跨恒载质量约1400 t，由普通板式橡胶支座支承。盖梁高2.6 m，总质量250 t。下部结构为双柱墩，桥墩高度可变，承台的水平尺寸为11.6 m×5.6 m，高2.5 m。基础由16根钻孔灌注摩擦桩组成，桩长50 m，桩径0.8 m，间距2 m。该桥采用延性抗震设计，并通过墩顶剪力键实现墩梁的横向固定约束。
由于桥梁纵、横向的传力机制存在相似性，但横桥向是框架墩，抗震行为更为复杂，因此本文聚焦横桥向开展传力机制研究。
1.1 有限元模型
笔者团队以往研究[18]已采用振动台试验验证了基于Winker地基梁模型的群桩基础-桥墩地震反应数值模拟方法(包括基于API规范[19]的土弹簧模型参数确定方法、桩基础和桥墩的非线性模拟方法)。在此基础上，建立了桩基桥梁非线性有限元模型(如图1)，考虑实际场地和结构的物理参数，实现了高效准确的软土场地典型桥梁地震反应模拟。桥梁的上部结构采用集中质量节点进行模拟，而支座采用零长单元，桥墩和桩基础采用基于位移的纤维单元。承台采用弹性梁单元进行模拟，承台顶面与土层顶面齐平，沿高度设置3个节点，中间节点设集中质量406 t并连接水平向p-y土弹簧，用于模拟承台的惯性效应和土-承台动力相互作用[16]。混凝土和钢筋分别采用OpenSees材料库中的Concrete04[20]和Steel02[21]材料模拟，材料特性见图1。
1.2 土-桩相互作用模拟
土-桩相互作用通过土和结构对应节点间连接的零长单元进行模拟(如图1)，包括水平向p-y土弹簧、竖向t-z和q-z(仅桩尖)土弹簧。土弹簧的本构参数依据地勘报告中的土体参数(见表1)确定。
表 1 土体材料参数Table 1. Soil material parameters土层名称 层厚/m 饱和密度/(t/m3) 摩擦角θ/(°) 不排水剪强度Su/kPa 粘土① 15.5 1.81 13.2 32.0 砂土① 5.0 1.93 31.7 − 粘土② 17.0 1.86 17.9 45.5 砂土② 23.5 1.88 29.0 − 1)砂土层
砂土层的p-y土-桩相互作用采用PySimple1材料进行模拟，其表达式见式(1)[19]：
p(y)=Apulttanh(nhHyApult) (1) 式中：p(y)为深度H处桩土相对位移y时的桩侧土压力；A为荷载系数(循环荷载取0.9)；nh为初始地基反力系数，是砂土内摩擦角θ的函数，可由API[19]中的曲线图进行估计。极限土体抗力pult按式(4)确定：
pult=min (2) 式中：C1~C3为系数，是摩擦角θ的函数，根据API规范[19]确定；d为桩径；\gamma '为土的有效重度。 砂土层的t-z土-桩相互作用采用TzSimple1材料进行模拟，其表达式见式(3)[22]：
t({\textit{z}}) = \frac{{\textit{z}}}{{1/{E_{\mathrm{f}}} + {\textit{z}}/{t_{{\mathrm{ult}}}}}} (3) 式中：t(z)为桩土竖向相对位移z时的桩侧摩阻力；该摩阻力的初始模量{E_{\mathrm{f}}}采用MOSHER[22]的推荐值；极限桩侧摩阻力{t_{{\mathrm{ult}}}}由式(4)[23]计算：
{t_{{\mathrm{ult}}}} = 0.4\gamma 'H\pi d\tan (0.8\theta ) (4) 砂土层的q-z土-桩相互作用采用QzSimple1材料进行模拟，其表达式见式(5)[24 − 25]：
q({\textit{z}}) = {q_{{\mathrm{ult}}}}{\left( {\frac{{\textit{z}}}{{{{\textit{z}}_{{{\rm cq}}}}}}} \right)^{1/3}} {\leqslant} {q_{{\mathrm{ult}}}} (5) 式中：q(z)为桩尖竖向位移z时的桩端阻力；极限值{q_{{\mathrm{ult}}}} = {N_{{\rm q}}}\sigma _{{{\rm v}}0}'，其中{N_{\rm q}} = {{\mathrm{e}}^{\pi \tan \theta }}{\tan ^2}(\pi /4 + \theta /2)为桩尖竖向承载力系数[24]，\sigma _{{\rm v}0}'为竖向初始有效应力。达到峰值{q_{{\mathrm{ult}}}}时的竖向位移zcq取0.05d。
2)粘土层
粘土层的p-y弹簧采用PySimple1模拟，由式(6)[26]表达：
p(y) = \frac{{{p_{{\mathrm{ult}}}}}}{2}{\left( {\frac{y}{{{y_{50}}}}} \right)^{1/3}} {\leqslant} {p_{{\mathrm{ult}}}} (6) 式中， {y_{50}} = 2.5d{\varepsilon _{50}} ，为土体达到极限抗力1/2时的位移。由式(6)易得，当 {y_{\max }} = 8 {y_{50}} 时达到 {p_{{\mathrm{ult}}}} ， {\varepsilon _{50}} 为1/2极限抗力时的应变。不排水剪强度Su≤48 kPa时可取ε50=0.02，48 kPa<Su≤96 kPa时取0.01，Su>96 kPa时取0.005[27]。 {p_{{\mathrm{ult}}}} 可参考API规范[19]计算：
{p_{{\mathrm{ult}}}} = 3{S_{\mathrm{u}}}d + \gamma 'Hd + 0.5{S_{\mathrm{u}}}H {\leqslant} 9{S_{\mathrm{u}}}d (7) 粘土层的t-z弹簧采用TzSimple1来模拟，由式(8)[25]表达：
t({\textit{z}}) = {t_{{\mathrm{ult}}}} \cdot \left( {2\sqrt {\frac{{\textit{z}}}{{{{\textit{z}}_{\rm c}}}}} - \frac{{\textit{z}}}{{{{\textit{z}}_{\rm c}}}}} \right) (8) 式中：土-桩竖向相对位移临界值 {{\textit{z}}_{\rm c}} = 0.51\;{\mathrm{cm}} [25]；极限抗力 {t_{{\mathrm{ult}}}} = 0.1\pi d{S_{\mathrm{u}}} [25]。
1.3 土-承台相互作用模拟
土-承台水平相互作用的模拟采用粘土p-y土弹簧[16]，关系式同式(6)，其特征参数 {p_{{\mathrm{ult}}}} 和 {y_{50}} 的计算与1.2节不同。式中，承台侧p-y土弹簧的极限承载力 {p_{{\mathrm{ult}}}} 按朗金被动土压力确定：
{p_{{\mathrm{ult}}}} = 0.5\gamma {K_{\mathrm{p}}}D_{\mathrm{f}}^2 (9) 式中：朗金被动土压力系数 {K_{\mathrm{p}}} = {\tan ^2}(\pi /4 + \theta /2) ；Df为承台底面深度。
根据相关研究，土体达到极限土抗力时的最大位移 {y_{\max }} 可以取0.05倍承台高度[23, 28]，代入式(6)即可反解得到 {y_{50}} = {H_{\rm c}}/160 。
1.4 桥梁结构动力特性
通过改变墩高参数H (15 m、20 m、25 m)，建立了3个桩基桥梁的有限元模型，并进行了动力特性分析，横桥向振型的周期详见表2。结果显示：墩高增加导致横桥向刚度减小，一阶基本振型的周期增加，但以承台振动为主的振型周期变化较小。
表 2 桥梁结构基本周期Table 2. Basic period of bridge structure/s 墩高H/m 基本振型 承台主振型 15 0.93 0.13 20 1.28 0.14 25 1.67 0.15 2 地震输入
住建部规范[2]规定，桩基桥梁计算模型应考虑桩土共同作用，桩土共同作用可采用等代土弹簧模拟，等代土弹簧的刚度可采用m法计算，而地震动输入宜取地表处场地地震动，即规范给出的各类场地地表地震动。本文进一步考虑场地土的非线性特性，基于国内外广泛采用的非线性Winkler地基梁模型，建立了桩基桥梁非线性有限元模型，同时基于规范[2]和文献[12]，采用自由场地表地震动作为地震输入。为了增加论文成果的实用性，本文直接采用上海地标推荐的IV类场地地表地震动作为地震输入，共7条地震动时程，包括2条人工波和5条实际地震记录。E2地震设防水准下，地表横桥向设计加速度反应谱S如下：
S = \left\{ \begin{aligned} & {0.4{S_{\max }}},&&{T = 0\;{\mathrm{s}}} \\ & {{\eta _2}{S_{\max }}},&&{0.1\;{\mathrm{s}} < T {\leqslant} {T_g}} \\ & {{\eta _2}{S_{\max }}{{\left( {\frac{{{T_g}}}{T}} \right)}^\gamma }},&&{{T_g} < T {\leqslant} 5{T_g}} \\ & {\left[ {{\eta _2}{{0.2}^\gamma } - {\eta _1}\left( {T - 5{T_g}} \right)} \right]{S_{\max }}},&&{5{T_g} < T {\leqslant} 6\;{\mathrm{s}}} \\ & {6\frac{{S(6)}}{T}},&&{6\;{\mathrm{s}} < T {\leqslant} 10\;{\mathrm{s}}} \end{aligned}\right. (10) 式中： {S_{\max }} 为反应谱最大值； {T_g} 为特征周期； {\eta _1} 为直线下降段斜率调整系数； {\eta _2} 为阻尼调整系数；γ为曲线下降段衰减指数。各参数具体取值为： {S_{\max }} =0.495 g， {T_g} =0.8 s， {\eta _1} =0.02， {\eta _2} =1.00，γ=0.90。
7条地震动时程对应的反应谱和其中两条时程如图2所示，平均反应谱与设计反应谱吻合较好。
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图 2 地震动设计加速度反应谱和其中两条时程记录Figure 2. Earthquake design acceleration response spectrum and two of the time history records3 桩基承台的地震反应规律
如表2所示，桥墩的刚度显著地影响桥梁的基本振型，并进一步影响包括承台在内的桥梁地震响应，以及桥墩的工作状态(是否屈服)。所以，为了分析桩基承台的地震反应规律，特别是不同墩高和不同地震强度下承台地震惯性力和承台侧土抗力的变化规律，本文调整了E2地震动加速度的幅值(分别取放大系数1.0、1.5、2.0、3.0)，针对1.4节所述不同墩高的三个有限元模型开展非线性地震反应分析(共84种工况)。
3.1 墩柱地震反应
为研究墩柱的地震响应规律和屈服状态，图3以采用规范推荐的RSN759地震波为输入的工况为例，给出了不同墩高模型在不同地震强度下的墩柱曲率包络图。从图中可以看到，在1.5倍E2地震下，墩底截面已进入屈服状态；在2倍E2地震时，墩底、墩顶截面依次屈服。随着墩高的增加，墩柱截面弯矩响应增大，墩底、墩顶截面会更易屈服。
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图 3 不同墩高下墩柱曲率包络图Figure 3. Pier curvature envelope diagrams with different pier heights3.2 承台地震惯性力
地震输入加速度代表地面加速度，而承台加速度是地震动激起的承台振动所导致的，为了验证承台地震响应与地表地震动之间的关系，图4以RSN759为输入的E2地震工况为例，比较了地面加速度时程和不同墩高下承台的加速度响应。可以看到，承台的加速度相对地面加速度有明显放大，且两者的峰值发生在不同时刻，说明两者同步振动[2]的假设与事实存在较大偏差，因此有必要研究承台最大地震惯性力的规律。
承台最大地震惯性力可由承台质量与加速度峰值的乘积计算得到，因此可以直接研究承台加速度的放大系数(承台峰值加速度反应与输入地震波PGA的比值)。图5给出了不同墩高工况下承台加速度放大系数随地震动强度的变化规律，并与独立基础(即无桥墩)的结果进行了比较。由图可知，随着地震强度增大，墩柱逐渐屈服进入塑性且塑性程度不断增大，导致墩柱刚度不断减小，对基础的约束作用也不断减弱，承台的峰值加速度趋近于独立基础的结果，但显著大于地面峰值加速度。各地震强度下，承台加速度放大系数的平均值大于1.5。
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图 5 承台加速度放大系数与地震动强度和墩高的关系Figure 5. Relationship between the amplification factor of cap acceleration and seismic intensity and pier height3.3 承台侧土抗力
为研究承台侧土抗力的发挥情况，图6代表性地给出了以RSN759地震波为输入的E2工况下，不同墩高模型中承台侧土弹簧的滞回曲线，土弹簧的最大土压力在所有墩高情况下最小为1483.3 kN，已发挥至极限值(1565.26 kN)的95%。
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图 6 不同墩高下承台侧土弹簧滞回曲线Figure 6. Cap spring hysteresis curves with different pier heights进一步地，绘制了不同墩高时承台侧土抗力发挥系数(最大土抗力与极限土抗力的比值)与地震动强度的关系(图7)。在所有工况下，土抗力发挥系数均超过0.9，且绝大部分接近1，表明E2地震作用下承台侧土抗力的发挥接近其极限值。
4 基于能力设计的群桩基础设计地震力简化计算
4.1 桩基承台传力机制分析
为探究桥墩剪力经承台传至基础的传力机制，将3.1节所述代表性工况(15 m墩高，E2地震，RSN759时程)下的墩底剪力和承台地震响应(承台惯性力、承台侧土抗力及其合力)的时程曲线绘制于图8，从图中可以看到，承台惯性力和土抗力近乎同频率振动，总是在相近的时刻分别达到峰值，且大部分情况下方向相反，部分抵消。但两个力合力(即承台的水平力贡献)的最大值与这两个力的峰值不在同一时刻出现，说明承台的贡献与承台的惯性力、承台侧土抗力存在相位差。图8也表明了由于结构基本振型和承台主振型间显著的频率差异导致的承台合力与墩底剪力的非同频振动现象。
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图 8 承台地震响应(承台惯性力、承台侧土抗力及其合力)以及墩底剪力的时程曲线Figure 8. Time-history of pier bottom shear force and cap seismic response (Cap inertia force, soil resistance and their resultant force)理论上，承台惯性力与承台的绝对加速度(位移的二阶导数)成正比，而小位移情况下承台侧的土抗力与承台和地面的相对位移成正比。对于单自由度简谐振动而言，二阶导数意味着，两个力之间存在相位差π，可以直接相减，但由图8可知，承台合力取得最大值的时刻并未严格对应两个力的峰值时刻，即相位差不为π，因此，对于地震作用下非线性振动的承台，需要进一步探究两个力之间相位差的规律。
为此，对于每一个工况下的地震反应，可以通过快速傅里叶变换(FFT)得到这两个力的相位谱，相减后可得各频率成分对应的相位差。经检查发现承台惯性力和土抗力之间的相位差可视为与频率无关的随机变量，并通过核密度法计算得到所有工况下这两个力之间相位差的概率密度曲线(如图9)。图9(a)中的实线为承台惯性力与土抗力之间相位差的分布，可以看到相位差\Delta \varphi 集中于π附近，说明两个力之间近似反相。经检验发现相位差\Delta \varphi 在[\mu - \sigma ,\mu + \sigma ]之间大致服从正态分布。
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图 9 不同地震响应之间的相位差分布Figure 9. Distribution of phase differences between two seismic responses类似地，可得承台惯性力与土抗力的合力与墩底剪力(即承台总贡献和上部结构贡献)之间的相位差分布(如图9(b))。可以看到多数情况下相位差\Delta \varphi 集中在0附近，说明承台总贡献和上部结构贡献虽然不同频振动，但是可以近似认为两者近似同相。
下面求这些力的合力大小。首先，考察两个简谐波的合成：
\begin{gathered} {f_1} = {A_1}\sin ({\omega _1}t + {\varphi _1})\;,\; {f_2} = {A_2}\sin ({\omega _2}t + {\varphi _2}) \\ \end{gathered} (11) 式中：{A_1}和{A_2}为两个简谐波的振幅；{\omega _1}和{\omega _2}为角频率；{\varphi _1}和{\varphi _2}额相位。两个波合成的结果为：
f = {f_1} + {f_2} = {A_1}\sin ({\omega _1}t + {\varphi _1}) + {A_2}\sin ({\omega _2}t + {\varphi _2}) (12) 进一步，利用和差化积公式，对式(12)进行化简可以得到：
\begin{split} & f = {A_1}\sin \left[ {\left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} {\varphi _2}}}{2}} \right)} \right] + \\& {A_2}\sin \left[ {\left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right) - \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)} \right] = \end{split} \begin{split} & ({A_1} + {A_2})\sin \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right) + \\& ({A_1} - {A_2})\cos \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right) = \\& A\sin \left(\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2} + \phi \right) \\[-1pt] \end{split} (13) 式中，合成运动的振幅和相位可由式(14)得到：
\begin{split} & A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {\Delta \omega t + \Delta \varphi } \right)}, \\& \tan \phi = \frac{{\left( {{A_1} - {A_2}} \right)}}{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}}\tan \left( {\frac{{\Delta \omega }}{2}t + \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) \end{split} (14) 式中： \Delta \omega = {\omega _1} - {\omega _2} 为角频率差； \Delta \varphi = {\varphi _1} - {\varphi _2} 为相位差。
式(14)表明：对于任意两个简谐波的合成，角频率差 \Delta \omega 的存在会导致振幅随时间变化。特别地，如果两个简谐振动振幅相等，则会形成振幅周期性变换的特殊振动，一般称之为“拍振”。实际上，对于任意振幅的两条波，总存在某个时刻，合振幅A为两个波振幅的直接叠加，即 A = {A_1} + {A_2} 。更进一步可以得到推论：有限项不同频率的简谐波相互叠加，总振幅为所有波的振幅的叠加。
对于承台惯性力、承台侧土抗力以及墩底剪力的时程函数{F_{\rm I}}(t)、R(t)和{F_{\rm P}}(t)，由于其频率成分存在上限，因此总可以将其写成有限项简谐波之和：
\left\{ \begin{aligned} & {{F_{\rm{I}}}(t) = \sum\limits_{n = 1}^N {{f_n}\sin (n\omega t + {\varphi _{\rm{I}}})} }\\& {R(t) = \sum\limits_{n = 1}^N {{r_n}\sin (n\omega t + {\varphi _{\rm{R}}})} }\\& {{F_{\rm{P}}}(t) = \sum\limits_{n = 1}^N {{p_n}\sin (n\omega t + {\varphi _{\rm{P}}})} } \end{aligned} \right. (15) 式中：{f_{{n}}}、{r_{{n}}}和 {p_{{n}}} 为傅里叶系数；nω为角频率；{\varphi _{\mathrm{I}}}、{\varphi _{\mathrm{R}}}和{\varphi _{\mathrm{P}}}为对应的相位角；N为总项数。
由于只需要考虑这几个力及其合力振动的幅值，无需考虑具体振动过程，可以利用前文得到的推论，忽略振幅的周期性变化，仅采用单一简谐波来简化分析过程，将几个力的时程改写为：
\left\{ \begin{aligned} & {{F_{\rm{I}}}(t) = \left| {{F_{\rm{I}}}} \right|\sin ({\omega _{\rm{I}}}t + {\varphi _{\rm{I}}})}\\& {R(t) = \left| R \right|\sin ({\omega _{\rm{R}}}t + {\varphi _{\rm{R}}})}\\& {{F_{\rm{P}}}(t) = \left| {{F_{\rm{P}}}} \right|\sin ({\omega _{\rm{P}}}t + {\varphi _{\rm{P}}})} \end{aligned}\right. (16) 式中：I、R、P做下标时分别代表惯性力、土抗力和墩底剪力的频率和相位参数； \left| {{F_{\mathrm{I}}}} \right| 、 \left| R \right| 、 \left| {{F_{\mathrm{P}}}} \right| 为这几个力的幅值。
下面根据式(14)对承台惯性力{F_{\mathrm{I}}}(t)、承台侧土抗力R(t)及墩底剪力{F_{\mathrm{P}}}(t)的合力进行估计。
首先，将承台直接受到的惯性力和土抗力进行组合。考虑到两者近乎同频振动且相位差接近π( \Delta \omega =0，\Delta\varphi =\pi )，可以得到承台总贡献：
\begin{split} {F_{\mathrm{C}}}(t) = &\sqrt {{{\left| {{F_{\mathrm{I}}}} \right|}^2} + {{\left| R \right|}^2} + 2\left| {{F_{\mathrm{I}}}} \right|\left| R \right|\cos (\pi )} \cdot\\& \cos \left(\frac{{{\omega _{\mathrm{I}}} + {\omega _{\mathrm{R}}}}}{2}t + {\varphi _{\mathrm{C}}}\right) = \left( {\left| {{F_{\mathrm{I}}}} \right| - \left| R \right|} \right)\cdot\\ & \cos \left(\frac{{{\omega _{\mathrm{I}}} + {\omega _{\mathrm{R}}}}}{2}t + {\varphi _{\mathrm{C}}}\right) = \left| {{F_{\mathrm{C}}}} \right|\cos ({\omega _{\mathrm{C}}}t + {\varphi _{\mathrm{C}}}) \end{split} (17) 式中： \left| {{F_{\mathrm{C}}}} \right| = \left| {{F_{\mathrm{I}}}} \right| - \left| R \right| 为承台总贡献的幅值；{\omega _{\mathrm{C}}}和{\varphi _{\mathrm{C}}}可联立式(14)、式(16)解出。
进一步，考虑墩底剪力和承台合力的组合。由于两者频率不同但无相位差( \Delta \omega = \Delta \omega ,{\text{ }}\Delta \varphi = 0 )，可以得到墩底剪力{F_{\mathrm{P}}}(t)与承台总贡献{F_{\mathrm{C}}}(t)的合力，即基础剪力V(t)：
\begin{split} V(t) = &\sqrt {{{\left| {{F_{\mathrm{P}}}} \right|}^2} + {{\left| {{F_{\mathrm{C}}}} \right|}^2} + 2\left| {{F_{\mathrm{P}}}} \right|\left| {{F_{\mathrm{C}}}} \right|\cos (\Delta \omega t)}\cdot \\& \cos ({\omega _{\mathrm{B}}}t + {\varphi _{\mathrm{B}}}) \end{split} (18) 式中，{\omega _{\rm B}}和{\varphi _{\rm B}}可联立式(14)、式(16)解出，基础剪力V的幅值与时间有关，其最大值也就是基础剪力的设计值为：
\left| V \right| = \left| {{F_{\mathrm{P}}}} \right| + \left| {{F_{\mathrm{C}}}} \right| = \left| {{F_{\mathrm{P}}}} \right| + \left| {{F_{\mathrm{I}}}} \right| - \left| R \right| (19) 需要说明的是：式(19)是基础剪力设计值的简化估计，其误差包括两部分：式(17)在估计承台贡献 \left| {{F_{\mathrm{C}}}} \right| 时忽略了可能存在的相位差 \Delta \varphi ，会导致承台贡献 \left| {{F_{\mathrm{C}}}} \right| 较实际值偏小；而式(19)在式(18)的基础上忽略了振幅的周期性变化，取其最大值，导致实际得到的墩底剪力偏大。这两部分误差会相互抵消，4.3节的验证将说明式(19)的结果仍偏于保守。
综上所述，软土地基桩基承台传力机制可以归纳如下：①承台惯性力与承台侧土抗力基本反相，部分抵消；②两者合成的承台地震响应贡献与上部结构地震响应贡献无相位差，可直接对两者的幅值进行叠加；③三者合力传至基础成为基础剪力。
4.2 桩基设计地震力简化计算方法
根据能力设计方法，桥梁群桩基础的设计地震力应根据延性墩柱传递下来的最大地震力，并考虑承台水平力贡献来确定。因此，需分别确定延性墩柱传递的最大地震力、承台水平力贡献以及两者的组合方法。
住建部规范[2]中，在确定群桩基础的设计地震力时，延性墩柱传递的地震力和承台的贡献直接叠加。其中，墩柱传递的最大地震力基于墩柱塑性铰区截面的超强弯矩计算。住建部规范假定承台与地面同步振动的同时忽略承台侧土体抗力的作用。因此，承台对低桩承台基础的水平力贡献，可采用静力法按式(20)计算：
{F_{\mathrm{t}}} = {M_{\mathrm{t}}}A (20) 式中：{F_{\mathrm{t}}}/kN为作用在承台中心处的水平地震力；{M_{\mathrm{t}}}/t为承台质量；A为水平向地震动峰值加速度PGA。
而近期颁布实施的上海市地方标准[4]在住建部规范的基础上考虑了承台侧土抗力的贡献，将低桩承台基础的承台水平力贡献改为按式(21)计算：
{F_{\mathrm{t}}} = {M_{\mathrm{t}}}A - {E_{{\mathrm{hc{\textit{z}}}}}} (21) 式中，{E_{{{{\mathrm{hc{\textit{z}}}}}}}}为承台侧土抗力的贡献，推荐在承台侧朗金被动土压力极限值{P_{{\mathrm{ult}}}}的基础上乘以1/3的折减系数。遗憾的是，上海市地方标准也并未对承台的贡献及其与桥墩传递的最大地震力的组合方法进行说明和论证。
事实上，根据3.2节分析结果，承台的峰值加速度显著大于地面峰值加速度，而且随着地震峰值加速度的增大，桥墩桩基承台的峰值加速度趋近于独立群桩基础的峰值加速度。同时，承台侧土抗力几乎发挥至极限土抗力。因此，住建部规范[2]和上海市地方标准[4]中采用的，按地面加速度峰值计算承台惯性力，忽略或者仅考虑少部分承台侧土抗力的做法均存在不合理之处。
对于按延性抗震设计的桥梁，桥墩在罕遇地震下往往屈服，桥墩传下来的地震力仅与桥墩截面的抗弯能力相关。为此，本文在现行住建部规范[2]中能力保护方法的基础上，假定桥墩屈服之后对承台没有约束作用，承台的贡献取决于桩基础的独立振动，认为桥墩桩基承台加速度等于独立群桩基础的加速度。同时假设承台侧土抗力的最大值为极限土抗力{P_{{\mathrm{ult}}}}的0.9倍。在确定了承台地震响应的大小之后，可以将承台惯性力、承台侧土体抗力及墩柱传递的地震力按照式(19)进行合成，就得到桥梁低桩承台基础的设计地震力计算公式：
\begin{split} & {F_{\mathrm{C}}} = {F_{\mathrm{I}}} - R\;,\; V = {V_0} + {F_{\mathrm{C}}}\;, \\ & M = {V_0} \cdot (H + {H_{\mathrm{C}}}) + {F_{\mathrm{C}}} \cdot 0.5{H_{\mathrm{C}}} \end{split} (22) 式中：FC为承台水平力贡献；{F_{\mathrm{I}}}为独立基础承台惯性力；R为承台侧土抗力，由于承台侧土抗力发挥系数均超过0.9，建议承台侧土抗力可近似取承台侧朗金被动土压力极限值{P_{{\mathrm{ult}}}}的0.9倍；{V_0}为墩柱传递的最大剪力；H为墩高；{H_{\mathrm{C}}}为承台高。
4.3 简化计算方法的适用性验证
为验证4.2节简化方法的适用性，以精细化模型计算结果为基准，对所有工况(不同墩高、加速度幅值和地震动共计84个)下住建部规范[2]方法、上海市地方标准[4]方法和本文方法计算得到的基础剪力和弯矩设计值进行比较如图10所示，并给出了平均误差线。为了可比性，三种简化方法中墩柱传递的剪力/弯矩均采用精细化模型的结果。桥梁抗震设计中，根据本文方法得到的基础弯矩、剪力设计值和永久作用效应组合后，按现行《公路桥涵地基与基础设计规范》JTG 3363[29]进行桩基础强度验算。
由图10可见，与精细化模型结果相比，三种简化方法的结果都是偏大的，特别是基础剪力设计值的结果。规范方法、规范修订方法和本文简化计算方法得到的基础剪力设计值平均误差分别为39.2%、27.2%、18.5%，而基础弯矩设计值的平均误差分别为3.6%、3.0%、2.6%。由于承台底的剪力设计值与桩身弯矩设计值呈正相关关系，而桩身截面抗弯强度又与配筋率呈正相关关系，因此与住建部规范相比，采用本文结果预计可减少桩身配筋率14.6%，与上海市地标相比，可减少桩身配筋率6.8%。
总体而言，住建部规范[2]最保守，上海市地方标准[4]相对更合理，而本文提出的简化方法更为经济，且依然是偏安全的。
5 结论
本文以上海地区(软土地区)采用延性抗震设计策略的典型高架桥为工程背景，建立了基于非线性Winkler地基梁模型的桩基桥梁有限元模型，系统分析了承台地震惯性力、承台侧土抗力随墩高和地震动强度的变化规律，揭示了地震下墩柱剪力经承台传至基础的传力机制，提出了软土地基桥梁群桩基础的设计地震力简化计算方法，并在此基础上重新审视了现行规范简化计算公式的合理性。得到如下结论：
(1)软土地基桥梁桩基承台在地震下的峰值加速度显著大于地震动峰值加速度，而且随着墩柱的屈服，承台峰值加速度趋近于独立群桩基础的峰值加速度。
(2)罕遇地震下，承台侧土抗力能发挥至极限土抗力的0.9倍以上。
(3)承台的惯性力与侧土抗力之间的相位差在π附近大致服从正态分布，可近似视为同频反相。
(4)上部结构传下来的墩底剪力和承台水平力贡献频率不同，但相位差接近0。
(5)基于能力设计方法，软土地基桥梁群桩基础的设计地震力计算，可以简化为由墩底最大剪力直接叠加独立群桩基础承台最大地震惯性力与反向0.9倍承台侧极限土抗力的合力。现行桥梁抗震设计规范在计算群桩基础设计地震力时，同时低估了承台地震惯性力和承台侧土抗力，过于保守。
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图 2 地震动设计加速度反应谱和其中两条时程记录
Figure 2. Earthquake design acceleration response spectrum and two of the time history records
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图 3 不同墩高下墩柱曲率包络图
Figure 3. Pier curvature envelope diagrams with different pier heights
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图 5 承台加速度放大系数与地震动强度和墩高的关系
Figure 5. Relationship between the amplification factor of cap acceleration and seismic intensity and pier height
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图 6 不同墩高下承台侧土弹簧滞回曲线
Figure 6. Cap spring hysteresis curves with different pier heights
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图 8 承台地震响应(承台惯性力、承台侧土抗力及其合力)以及墩底剪力的时程曲线
Figure 8. Time-history of pier bottom shear force and cap seismic response (Cap inertia force, soil resistance and their resultant force)
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图 9 不同地震响应之间的相位差分布
Figure 9. Distribution of phase differences between two seismic responses
表 1 土体材料参数
Table 1 Soil material parameters
土层名称 层厚/m 饱和密度/(t/m3) 摩擦角θ/(°) 不排水剪强度Su/kPa 粘土① 15.5 1.81 13.2 32.0 砂土① 5.0 1.93 31.7 − 粘土② 17.0 1.86 17.9 45.5 砂土② 23.5 1.88 29.0 − 
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表 2 桥梁结构基本周期
Table 2 Basic period of bridge structure
/s 墩高H/m 基本振型 承台主振型 15 0.93 0.13 20 1.28 0.14 25 1.67 0.15
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[1] 王靖程, 叶爱君, 王晓伟, 等. 液化大变形场地桩柱式墩桥梁震后竖向承载能力损失评估 [J]. 工程力学, 1 − 2. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2023.02.0073 WANG Jingcheng, YE Aijun, WANG Xiaowei, et al. Loss assessment of post-earthquake vertical load-carrying capacity for pile-column bridges in liquefied ground with large deformation [J]. Engineering Mechanics, 1 − 2. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2023.02.0073
[2] CJJ 166−2011, 城市桥梁抗震设计规范 [S]. 北京: 中国建筑工业出版社, 2012. CJJ 166−2011, Code for seismic design of urban bridges [S]. Beijing: China Architecture Industry Press, 2012. (in Chinese)
[3] MYLONAKIS G, NIKOLAOU A, GAZETAS G. Soil–pile–bridge seismic interaction: Kinematic and inertial effects. Part I: Soft soil [J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1997, 26(3): 337 − 359.
[4] DG/TJ08-2440−2023, 桥梁抗震设计标准 [S]. 上海: 同济大学出版社, 2023. DG/TJ08-2440−2023, Standards for seismic design of bridges [S]. Shanghai: Tongji University Press, 2023. (in Chinese)
[5] NOVAK M. Piles under dynamic loads [C]// Proceedings of the Second International Conferences on Recent Advances in Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics. St. Louis, Missouri: University of Missouri–Rolla, 1991: 2433 − 2456.
[6] EL NAGGAR M H, NOVAK M. Nonlinear axial interaction in pile dynamics [J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1994, 120(4): 678 − 696. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9410(1994)120:4(678)
[7] BOULANGER R W, CURRAS C J, KUTTER B L, et al. Seismic soil-pile-structure interaction experiments and analyses [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 1999, 125(9): 750 − 759. doi: 10.1061/(ASCE)1090-0241(1999)125:9(750)
[8] REN J Z, SONG J Y, ELLINGWOOD B R. Reliability assessment framework of deteriorating reinforced concrete bridges subjected to earthquake and pier scour [J]. Engineering Structures, 2021, 239: 112363. doi: 10.1016/j.engstruct.2021.112363
[9] AYGÜN B, DUEÑAS-OSORIO L, PADGETT J E, et al. Efficient longitudinal seismic fragility assessment of a multispan continuous steel bridge on liquefiable soils [J]. Journal of Bridge Engineering, 2011, 16(1): 93 − 107. doi: 10.1061/(ASCE)BE.1943-5592.0000131
[10] GHORBANI A, HASANZADEHSHOOIILI H, GHAMARI E, et al. Comprehensive three dimensional finite element analysis, parametric study and sensitivity analysis on the seismic performance of soil–micropile-superstructure interaction [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2014, 58: 21 − 36. doi: 10.1016/j.soildyn.2013.12.001
[11] 王晓伟, 钱晋, 叶爱君, 王靖程, 杨光怡. 砂土场地桩柱式墩桥梁桩身地震需求简化计算方法 [J]. 工程力学, 1 − 10. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2022.10.0850 WANG Xiao-wei, QIAN Jin, YE Ai-jun, WANG Jing-cheng, YANG Guang-yi. SIMPLIFIED SEISMIC DEMAND PREDICTION METHOD FOR EXTENDED PILE-SHAFTS IN COHESIONLESS SOILS [J]. Engineering Mechanics, 1 − 10. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2022.10.0850
[12] SHANG Y, ALIPOUR A, YE A J. Selection of input motion for seismic analysis of scoured pile-supported bridge with simplified models [J]. Journal of Structural Engineering, 2018, 144(8): 04018099.
[13] PIETRASZEK P, LEGER P, TREMBLAY R. Pile foundation modelling for seismic analysis of highway bridges using beam on a non-linear Winkler foundation [C]// Proceedings of the 3rd Specialty Conference on Disaster Prevention and Mitigation. Montreal: Canadian Society for Civil Engineering, 2013: 1898 − 1908.
[14] ROJAS E, VALLE C, ROMO M P. Soil-pile interface model for axially loaded single piles [J]. Soils and Foundations, 1999, 39(4): 35 − 45. doi: 10.3208/sandf.39.4_35
[15] 王晓伟, 叶爱君, 商宇. 砂土地基小直径单桩的浅层土p–y曲线 [J]. 岩土工程学报, 2018, 40(9): 1736 − 1745. doi: 10.11779/CJGE201809022 WANG Xiaowei, YE Aijun, SHANG Yu. Shallow-layer p-y curves for single micropile in sands [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2018, 40(9): 1736 − 1745. (in Chinese) doi: 10.11779/CJGE201809022
[16] 杨当, 王靖程, 叶爱君. 土-承台动力相互作用对砂土场地桩基桥梁地震反应的影响 [J]. 城市道桥与防洪, 2024(1): 199 − 204. YANG Dang, WANG Jingcheng, YE Aijun. Influence of soil-base slab dynamic interaction on seismic response of pile foundation bridges in sandy soil site [J]. Urban Roads Bridges & Flood Control, 2024(1): 199 − 204. (in Chinese)
[17] MCKENNA F. OpenSees: A framework for earthquake engineering simulation [J]. Computing in Science & Engineering, 2011, 13(4): 58 − 66.
[18] 王靖程, 叶爱君, 王晓伟. 砂土场地桥梁群桩基础延性抗震性能分析 [J]. 同济大学学报(自然科学版), 2024, 52(6): 893 − 901. doi: 10.11908/j.issn.0253-374x.22313 WANG Jingcheng, YE Aijun, WANG Xiaowei. Ductile seismic performance analysis of bridge pile-group foundations in sand [J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2024, 52(6): 893 − 901. (in Chinese) doi: 10.11908/j.issn.0253-374x.22313
[19] API RP 2A-WSD−2014, Planning, designing and constructing fixed offshore platforms-working stress design [S]. Washington, DC: American Petroleum Institute, 2014.
[20] MANDER J B, PRIESTLEY M J N, PARK R. Theoretical stress‐strain model for confined concrete [J]. Journal of Structural Engineering, 1988, 114(8): 1804 − 1826. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1988)114:8(1804)
[21] FILIPPOU F C, POPOV E P, BERTERO V V. Modeling of R/C joints under cyclic excitations [J]. Journal of Structural Engineering, 1983, 109(11): 2666 − 2684. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1983)109:11(2666)
[22] MOSHER R L. Load-transfer criteria for numerical analysis of axially loaded piles in sand. Part 1: Load-transfer criteria [R]. Vicksburg, MS: U.S. Army Engineer Waterways Experiment Station, 1984.
[23] FANG H Y. Foundation engineering handbook [M]. New York: Springer, 1991: 233 − 234.
[24] MEYERHOF G G. Bearing capacity and settlement of pile foundations [J]. Journal of the Geotechnical Engineering Division, 1976, 102(3): 197 − 228. doi: 10.1061/AJGEB6.0000243
[25] VIJAYVERGIYA V N, HUDSON W R, REESE L C. Load distribution for a drilled shaft in clay shale [R]. Austin: The University of Texas at Austin, 1969.
[26] MATLOCK H. Correlation for design of laterally loaded piles in soft clay [C]// Proceedings of Offshore Technology Conference. Houston: OTC, 1970: 577 − 588.
[27] REESE L C, VAN IMPE W F. Single piles and pile groups under lateral loading [J]. Applied Mechanics Reviews, 2002, 55(1): 9 − 10.
[28] DAS B M, SIVAKUGAN N. Principles of foundation engineering [M]. Boston, MA: Cengage Learning, 2019: 324 − 374.
[29] JTG 3363−2019, 公路桥涵地基与基础设计规范 [S]. 北京: 人民交通出版社, 2019. JTG 3363−2019, Specifications for design of foundation of highway bridges and culverts [S]. Beijing: China Communication Press, 2019. (in Chinese)
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